Um balde de 1 m^{3} (cubo de arestas 1 m ) contém 0,6 m^{3} de água. São jogadas neste balde 40 esferas formadas por três materiais diferentes (todas com o mesmo volume 0,01 m^{3} ). Observa-se que a diferença entre a pressão no fundo do balde e a pressão na superfície da água é acrescida em mais de 50 \% após a colocação das esferas. Calcule a maior quantidade possível (na amostra) de esferas formadas pelo material 1, sabendo que:
e) a densidade do material 1 é a metade da densidade da água;
f) a densidade do material 2 é igual à da água;
g) a densidade do material 3 é 50 \% maior que a do material 1 e
h) Existem 10 esferas formadas pelo material 2.

Passo 1

O balde tem base de área A=1\;\mathrm{m^2} e contém inicialmente V_{\rm água}=0,6\;\mathrm{m^3}á de água, de modo que a altura inicial do líquido é
h_0=\frac{V_{\rm água}}{A}=0,6\;\mathrm{m}.á
Colocam-se 40 esferas de volume V=0,01\;\mathrm{m^3}, sendo n_1 do material 1 \rho_1=\tfrac12\rho_w, n_2=10 do material 2 \rho_2=\rho_w e n_3=40-n_1-n_2 do material 3 \rho_3=1,5\,\rho_1=0,75\,\rho_w.
Queremos que a nova diferença de pressão hidrostática \Delta P=\rho_w g\,h seja estritamente maior que 1{,}5\,\Delta P_0, onde \Delta P_0=\rho_w g\,h_0.

Passo 2

A pressão hidrostática inicial é
\Delta P_0=\rho_w g\,h_0=\rho_w g\,(0,6).

Passo 3

Cada esfera flutua deslocando volume igual ao quociente entre seu peso e \rho_w g. Assim, os volumes submersos são: \quad V_{\rm sub,1}=V\;\frac{\rho_1}{\rho_w}=0,01\cdot0,5=0,005\;\mathrm{m^3}, \quad V_{\rm sub,2}=V\;\frac{\rho_2}{\rho_w}=0,01\cdot1=0,01\;\mathrm{m^3}, \quad V_{\rm sub,3}=V\;\frac{\rho_3}{\rho_w}=0,01\cdot0,75=0,0075\;\mathrm{m^3}.

Passo 4

O volume total deslocado pelas esferas é
V_{\rm sub, total} =n_1\cdot0,005 + 10\cdot0,01 + (30 - n_1)\cdot0,0075 =0,325 - 0,0025\,n_1.
A nova altura da água fica
h=\frac{V_{\rm água}+V_{\rm sub, total}}{A} =0,6 + 0,325 - 0,0025\,n_1 =0,925 - 0,0025\,n_1.á

Passo 5

Queremos
\Delta P=\rho_w g\,h>1{,}5\,\Delta P_0 \;\Longrightarrow\; h>1{,}5\,(0,6)=0,9.
Logo
0,925 - 0,0025\,n_1>0,9 \;\Longrightarrow\; -0,0025\,n_1>-0,025 \;\Longrightarrow\; n_1<10.
Como n_1 é inteiro não negativo, o máximo é n_1=9.

Resposta

A maior quantidade possível de esferas do material 1 é 9.

Exercícios relacionados