Um banco faz operações via Internet e, após um estudo sobre o serviço prestado, concluiu o seguinte modelo teórico para o tempo de conexão (em minutos):
f(x)=\frac{1}{4} k e^{\frac{-1}{4} k x}, \text { se } x>0
com k sendo 1 ou 2 dependendo do cliente ser pessoa física ou jurídica. A porcentagem de pessoas físicas utilizando este serviço ainda é pequena e é estimada na ordem de 20 \%. Calcule:
A probabilidade de uma pessoa jurídica ficar menos de 6 minutos conectada.

Passo 1

O enunciado dá o modelo teórico para o tempo de conexão X em minutos via Internet, com densidade
f(x)=\frac{1}{4}\,k\,e^{-\frac{k}{4}x},\quad x>0,
onde k=1 para pessoa física e k=2 para pessoa jurídica. Queremos a probabilidade de uma pessoa jurídica ficar menos de 6 minutos conectada.

Passo 2

Para pessoa jurídica temos k=2. O parâmetro da distribuição exponencial é
\lambda = \frac{k}{4} = \frac{2}{4} = \tfrac12.
Portanto, condicional a ser pessoa jurídica,
X\sim \mathrm{Exp}\bigl(\lambda=\tfrac12\bigr),
com função densidade
f(x)=\tfrac12\,e^{-\tfrac12 x},\quad x>0.

Passo 3

Para uma variável exponencial X\sim\mathrm{Exp}(\lambda), a probabilidade de X ser menor que t é
P(X<t)=1-e^{-\lambda t}.
Substituindo \lambda=\tfrac12 e t=6:
P(X<6)=1 - e^{-\tfrac12\cdot6} =1 - e^{-3}.

Resposta

P(\text{pessoa jurídica em menos de 6 min}) = 1 - e^{-3}\approx 0{,}9502.í

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