Um ponto é selecionado aleatoriamente no interior de um triângulo equilátero de lado L=6 \mathrm{~cm}. Seja X= a distância do ponto à base (fixada) do triângulo.
(a) Determinar a f.d.a e d.f.p da variável X.
(b) Calcular E(X) e V(X).
R. (a) F(x)=0, x \leq 0, F(x)=(6 \sqrt{3}-x) x / 27,0<x<3 \sqrt{3}, F(x)=1, x \geq 3 \sqrt{3}
Passo 1
O enunciado diz que um ponto é escolhido uniformemente no interior de um triângulo equilátero de lado L=6 cm e altura h=3\sqrt{3} cm. Definimos X como a distância desse ponto à base. Para achar a f.d.a. F(x) e a d.f.p. f(x) de X, vamos usar probabilidade geométrica:
– calcular a área dos pontos cuja distância à base seja ≤ x;
– dividir pela área total do triângulo;
– depois derivar para obter f(x).
Em seguida, usaremos as fórmulas de momento para obter E(X) e V(X).
Passo 2
Seja o eixo y medido da base y=0 até o vértice y=h. A largura do triângulo na altura y é