Um banco faz operações via Internet e, após um estudo sobre o serviço prestado, concluiu o seguinte modelo teórico para o tempo de conexão (em minutos):
com
sendo 1 ou 2 dependendo do cliente ser pessoa física ou jurídica. A porcentagem de pessoas físicas utilizando este serviço ainda é pequena e é estimada na ordem de
. Calcule:
Se um cliente fica mais de 5 minutos conectado, qual é a probabilidade dele ser pessoa jurídica?
Se um cliente fica mais de 5 minutos conectado, qual é a probabilidade dele ser pessoa jurídica?
Passo 1
O enunciado nos dá o tempo de conexão
modelado por uma distribuição exponencial com densidade
onde
para pessoa física (PF) e
para pessoa jurídica (PJ). Sabemos também que
Queremos calcular a probabilidade de ser PJ dado que
minutos.
Passo 2
Para cada tipo de cliente, a função sobrevivência (probabilidade de
) de uma exponencial com parâmetro
é
Logo,
Passo 3
Pelo Teorema de Bayes,
Passo 4
Substituindo os valores:
Passo 5
Calculando numericamente:
Resposta
A probabilidade de o cliente ser pessoa jurídica, dado que ficou mais de 5 minutos conectado, é aproximadamente
(ou
).