Um banco faz operações via Internet e, após um estudo sobre o serviço prestado, concluiu o seguinte modelo teórico para o tempo de conexão (em minutos):
f(x)=\frac{1}{4} k e^{\frac{-1}{4} k x}, \text { se } x>0
com k sendo 1 ou 2 dependendo do cliente ser pessoa física ou jurídica. A porcentagem de pessoas físicas utilizando este serviço ainda é pequena e é estimada na ordem de 20 \%. Calcule:
Se um cliente fica mais de 5 minutos conectado, qual é a probabilidade dele ser pessoa jurídica?

Passo 1

O enunciado nos dá o tempo de conexão X modelado por uma distribuição exponencial com densidade
f(x)=\frac{1}{4}\,k\,e^{-\frac{k}{4}x},\quad x>0,
onde k=1 para pessoa física (PF) e k=2 para pessoa jurídica (PJ). Sabemos também que
P(\text{PF})=0{,}2,\quad P(\text{PJ})=0{,}8.
Queremos calcular a probabilidade de ser PJ dado que X>5 minutos.

Passo 2

Para cada tipo de cliente, a função sobrevivência (probabilidade de X>t) de uma exponencial com parâmetro \lambda=k/4 é
P(X>t\mid k)=e^{-\frac{k}{4}t}.
Logo,
P(X>5\mid \text{PF})=e^{-\frac{1}{4}\cdot5}=e^{-1{,}25},
P(X>5\mid \text{PJ})=e^{-\frac{2}{4}\cdot5}=e^{-2{,}5}.

Passo 3

Pelo Teorema de Bayes,
P(\text{PJ}\mid X>5) =\frac{P(X>5\mid \text{PJ})\,P(\text{PJ})} {P(X>5\mid \text{PJ})\,P(\text{PJ}) +P(X>5\mid \text{PF})\,P(\text{PF})}.

Passo 4

Substituindo os valores:
P(\text{PJ}\mid X>5) =\frac{e^{-2{,}5}\times0{,}8} {e^{-2{,}5}\times0{,}8 + e^{-1{,}25}\times0{,}2}.

Passo 5

Calculando numericamente:
e^{-1{,}25}\approx0{,}2865,\quad e^{-2{,}5}\approx0{,}0821,
\text{numerador}=0{,}8\times0{,}0821\approx0{,}0657, \quad \text{denominador}=0{,}0657+0{,}2\times0{,}2865\approx0{,}1229,
P(\text{PJ}\mid X>5)\approx\frac{0{,}0657}{0{,}1229}\approx0{,}534.

Resposta

A probabilidade de o cliente ser pessoa jurídica, dado que ficou mais de 5 minutos conectado, é aproximadamente 0{,}534 (ou 53{,}4\%).

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