Um banco faz operações via Internet e, após um estudo sobre o serviço prestado, concluiu o seguinte modelo teórico para o tempo de conexão (em minutos):
f(x)=\frac{1}{4} k e^{\frac{-1}{4} k x}, \text { se } x>0
com k sendo 1 ou 2 dependendo do cliente ser pessoa física ou jurídica. A porcentagem de pessoas físicas utilizando este serviço ainda é pequena e é estimada na ordem de 20 \%. Calcule:
A probabilidade de um cliente ficar mais de 2 minutos conectado.

Passo 1

O enunciado descreve o tempo de conexão X (em minutos) com densidade condicional
f(x\mid k)=\frac{k}{4}e^{-\frac{k}{4}x},\quad x>0,
onde k=1 com probabilidade 0,2 (pessoa física) e k=2 com probabilidade 0,8 (pessoa jurídica). Queremos calcular a probabilidade \Pr(X>2).

Passo 2

Usamos a lei da probabilidade total para misturas:
\Pr(X>2) =\Pr(X>2\mid k=1)\Pr(k=1)+\Pr(X>2\mid k=2)\Pr(k=2).
Para uma exponencial com parâmetro \lambda=k/4, vale
\Pr(X>t\mid k)=e^{-\lambda t} =e^{-\frac{k}{4}t}.

Passo 3

Aplicando para t=2:
\Pr(X>2\mid k=1)=e^{-\frac{1}{4}\cdot2} =e^{-0,5},
\Pr(X>2\mid k=2)=e^{-\frac{2}{4}\cdot2} =e^{-1}.

Passo 4

Substituindo na fórmula da mistura:
\Pr(X>2) =0,2\,e^{-0,5}+0,8\,e^{-1}.

Passo 5

Calculando numericamente:
e^{-0,5}\approx0,6065,\quad e^{-1}\approx0,3679,
\Pr(X>2)\approx0,2\cdot0,6065+0,8\cdot0,3679 \approx0,1213+0,2943 \approx0,4156.

Resposta

A probabilidade de um cliente ficar mais de 2 minutos conectado é aproximadamente 0,416.

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