Uma banda de energia num sistema electrónico unimensional é dada por:
onde
é a constante da rede.
(a) faça o gráfico de
na primeira zona de Brillouin.
(b) determine a velocidade
.
Suponha que é aplicado um campo eléctrico constante
ao longo do sistema, onde o momento de Fermi é
. Não existindo colisões,
(c) como evoluirá no tempo, semi-classicamente, o estado de cada electrão?
(d) calcule a densidade de corrente
ao longo do sistema. Comente a dependencia temporal de
. [ Estas são as denominadas Oscilações de Bloch ].
(a) faça o gráfico de
(b) determine a velocidade
(c) como evoluirá no tempo, semi-classicamente, o estado de cada electrão?
(d) calcule a densidade de corrente
Passo 1
O enunciado define a dispersão eletrónica num sistema unidimensional por
e pede quatro coisas: (a) desenhar essa banda na primeira zona de Brillouin
, (b) obter a velocidade semiclassica
, (c) descrever a evolução temporal de cada elétron sob campo elétrico constante
(sem colisões) e (d) calcular a densidade de corrente
mostrando as oscilações de Bloch.
Passo 2
Para (a) note que em
temos
e em
Assim o gráfico em
é uma cossenoide invertida: mínimo
em
e máximos
em
, variando suavemente entre esses pontos.
Passo 3
Para (b) usamos a relação semiclassica
Como
logo
Passo 4
Para (c) a equação de movimento semiclassica é
onde
. Integrando, se
,
Isto significa que cada elétron “desliza” no espaço de fases
, e ao atingir a borda da zona de Brillouin sofre reflexão de Bragg, produzindo movimento periódico em
.
Passo 5
Para (d) a densidade de corrente é
com
. Substituindo
e integrando:
onde
. Fazendo a integral de seno, obtém-se
Portanto a corrente oscila no tempo com frequência de Bloch
. A amplitude é proporcional a
, nula em meia-banda.
Resposta
(a) No intervalo
a curva de
é uma cossenoide invertida com
e
.
(b) .
(c) Sob campo ,
, gerando deslocamento periódico em
(reflexão de Bragg).
(d)
(b)
(c) Sob campo
(d)
que oscila com frequência
.