Uma banda de energia num sistema electrónico unimensional é dada por:
\varepsilon(k)=-t \cos (a k) \quad t>0,
onde a é a constante da rede.
(a) faça o gráfico de \varepsilon(k) na primeira zona de Brillouin.
(b) determine a velocidade v(k).
Suponha que é aplicado um campo eléctrico constante E ao longo do sistema, onde o momento de Fermi é k_{F}. Não existindo colisões,
(c) como evoluirá no tempo, semi-classicamente, o estado de cada electrão?
(d) calcule a densidade de corrente j(t) ao longo do sistema. Comente a dependencia temporal de j. [ Estas são as denominadas Oscilações de Bloch ].

Passo 1

O enunciado define a dispersão eletrónica num sistema unidimensional por
\varepsilon(k)=-t\cos(ak),\quad t>0,
e pede quatro coisas: (a) desenhar essa banda na primeira zona de Brillouin k\in[-\pi/a,\pi/a], (b) obter a velocidade semiclas­sica v(k), (c) descrever a evolução temporal de cada elétron sob campo elétrico constante E (sem colisões) e (d) calcular a densidade de corrente j(t) mostrando as oscilações de Bloch.

Passo 2

Para (a) note que em k=0 temos
\varepsilon(0)=-t\cos(0)=-t,
e em k=\pm\pi/a
\varepsilon(\pm\pi/a)=-t\cos(\pm\pi)=+t.
Assim o gráfico em k\in[-\pi/a,\pi/a] é uma cossenoide invertida: mínimo -t em k=0 e máximos +t em k=\pm\pi/a, variando suavemente entre esses pontos.

Passo 3

Para (b) usamos a relação semiclas­sica
v(k)=\frac{1}{\hbar}\,\frac{d\varepsilon}{dk}.
Como
\frac{d}{dk}\bigl[-t\cos(ak)\bigr]=t\,a\sin(ak),
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v(k)=\frac{t\,a}{\hbar}\,\sin\bigl(a k\bigr).

Passo 4

Para (c) a equação de movimento semiclas­sica é
\hbar\,\frac{dk}{dt}=-eE,
onde e>0. Integrando, se k(0)=k_0,
k(t)=k_0-\frac{eE}{\hbar}\,t.
Isto significa que cada elétron “desliza” no espaço de fases k, e ao atingir a borda da zona de Brillouin sofre reflexão de Bragg, produzindo movimento periódico em k.

Passo 5

Para (d) a densidade de corrente é
j(t)=-e\int_{-k_F}^{k_F}\!\frac{dk_0}{2\pi}\;v\bigl(k(t)\bigr),
com k(t)=k_0-(eE/\hbar)t. Substituindo v e integrando:
j(t)=-\frac{e}{2\pi}\int_{-k_F}^{k_F}\frac{t a}{\hbar}\sin\bigl(a k_0-\omega_B t\bigr)\,dk_0,
onde \omega_B=\tfrac{e a E}{\hbar}. Fazendo a integral de seno, obtém-se
j(t)=\frac{e\,t}{\pi\hbar}\,\sin\bigl(a k_F\bigr)\,\sin\bigl(\omega_B t\bigr).
Portanto a corrente oscila no tempo com frequência de Bloch \omega_B. A amplitude é proporcional a \sin(a k_F), nula em meia-banda.

Resposta

(a) No intervalo k\in[-\pi/a,\pi/a] a curva de \varepsilon(k)=-t\cos(ak) é uma cossenoide invertida com \varepsilon(0)=-t e \varepsilon(\pm\pi/a)=+t.
(b) v(k)=\tfrac{t\,a}{\hbar}\sin(a k).
(c) Sob campo E, k(t)=k_0-\tfrac{eE}{\hbar}t, gerando deslocamento periódico em k (reflexão de Bragg).
(d)
j(t)=\frac{e\,t}{\pi\hbar}\,\sin\bigl(a k_F\bigr)\,\sin\!\Bigl(\frac{e a E}{\hbar}t\Bigr),
que oscila com frequência \omega_B=e a E/\hbar.

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