Considere a seguinte expressão para uma banda de energia de um sistema electrónico numa rede quadrada:
\varepsilon(k)=-t\left[\cos \left(a k_{x}\right)+\cos \left(a k_{y}\right)\right]
(a) Mostre que para energias próximas do fundo da banda, a dispersão é parabólica.
(b) Calcule a massa efectiva no fundo da banda
(c) Na primeira Zona de Brillouin desenhe superfícies de Fermi para energias: perto do fundo da banda; no meio da manda; perto do topo da banda

Passo 1

O enunciado nos dá a dispersão de um elétron num retículo quadrado
\varepsilon(\mathbf{k})=-t\bigl[\cos(a k_x)+\cos(a k_y)\bigr]
e pede:
(a) mostrar que, perto do fundo da banda (mínimo de energia), a dependência é quadrática em \mathbf{k};
(b) obter a massa efetiva m^* nesse ponto;
(c) desenhar as superfícies de Fermi na primeira zona de Brillouin para energias perto do fundo, no meio e perto do topo da banda.

Passo 2

Perto do fundo da banda temos \mathbf{k}\approx\mathbf{0} e a k_x,a k_y\ll1. Usamos a expansão em série de Taylor de \cos:
\cos(\alpha)\approx1-\frac{\alpha^2}{2}\quad(\alpha\to0).
Logo
\cos(a k_x)\approx1-\frac{a^2k_x^2}{2},\qquad \cos(a k_y)\approx1-\frac{a^2k_y^2}{2}.
Substituindo em \varepsilon(\mathbf{k})
\varepsilon(\mathbf{k}) =-t\Bigl[2-\frac{a^2}{2}(k_x^2+k_y^2)\Bigr] =-2t+\frac{t\,a^2}{2}(k_x^2+k_y^2),
que é claramente uma forma parabólica em k^2.

Passo 3

Para massa efetiva definimos a expansão canônica
\varepsilon(\mathbf{k})\approx\varepsilon_0+\frac{\hbar^2k^2}{2m^*},
onde \varepsilon_0=-2t. Comparando com
\varepsilon(\mathbf{k})\approx-2t+\frac{t\,a^2}{2}k^2
vemos que
\frac{\hbar^2}{2m^*}=\frac{t\,a^2}{2} \quad\Longrightarrow\quad m^*=\frac{\hbar^2}{t\,a^2}.

Passo 4

A superfície de Fermi é definida pela condição \varepsilon(\mathbf{k})=E_F, isto é
\cos(a k_x)+\cos(a k_y)=-\frac{E_F}{t}.
Para E_F pouco acima de -2t (perto do fundo) temos -E_F/t\approx2-\delta com \delta\ll1, e a expansão ao redor de \mathbf{k}=\mathbf{0} dá uma circunferência pequena centrada em \Gamma=(0,0). De modo análogo, para E_F pouco abaixo de +2t (perto do topo) expandimos ao redor de M=(\pi/a,\pi/a) e obtemos outra circunferência pequena em torno de M.

Passo 5

No meio da banda, E_F=0, a condição vira
\cos(a k_x)+\cos(a k_y)=0
que no primeiro BZ ( -\pi/a\le k_{x,y}\le\pi/a) corresponde a uma curva quadrada (diamante) unindo os pontos médios (\pm\pi/a,0) e (0,\pm\pi/a).

Resposta

(a) Perto do fundo de banda
\varepsilon(\mathbf{k})\approx-2t+\frac{t\,a^2}{2}(k_x^2+k_y^2),
ou seja, dispersão parabólica.
(b) A massa efetiva no mínimo é
m^*=\frac{\hbar^2}{t\,a^2}.
(c) Na primeira zona de Brillouin (retângulo -\pi/a\le k_{x},k_{y}\le\pi/a):
– Para E_F\gtrsim-2t: superfície de Fermi é um círculo pequeno em torno de \Gamma=(0,0).
– Para E_F=0: superfície de Fermi é um diamante ligando (\pm\pi/a,0) e (0,\pm\pi/a).
– Para E_F\lesssim+2t: superfície de Fermi é um círculo pequeno em torno de M=(\pi/a,\pi/a).

Exercícios relacionados