Considere a seguinte expressão para uma banda de energia de um sistema electrónico numa rede quadrada:
(a) Mostre que para energias próximas do fundo da banda, a dispersão é parabólica.
(b) Calcule a massa efectiva no fundo da banda
(c) Na primeira Zona de Brillouin desenhe superfícies de Fermi para energias: perto do fundo da banda; no meio da manda; perto do topo da banda
(b) Calcule a massa efectiva no fundo da banda
(c) Na primeira Zona de Brillouin desenhe superfícies de Fermi para energias: perto do fundo da banda; no meio da manda; perto do topo da banda
Passo 1
O enunciado nos dá a dispersão de um elétron num retículo quadrado
e pede:
(a) mostrar que, perto do fundo da banda (mínimo de energia), a dependência é quadrática em ;
(b) obter a massa efetiva nesse ponto;
(c) desenhar as superfícies de Fermi na primeira zona de Brillouin para energias perto do fundo, no meio e perto do topo da banda.
(a) mostrar que, perto do fundo da banda (mínimo de energia), a dependência é quadrática em
(b) obter a massa efetiva
(c) desenhar as superfícies de Fermi na primeira zona de Brillouin para energias perto do fundo, no meio e perto do topo da banda.
Passo 2
Perto do fundo da banda temos
e
. Usamos a expansão em série de Taylor de
:
Logo
Substituindo em
dá
que é claramente uma forma parabólica em
.
Passo 3
Para massa efetiva definimos a expansão canônica
onde
. Comparando com
vemos que
Passo 4
A superfície de Fermi é definida pela condição
, isto é
Para
pouco acima de
(perto do fundo) temos
com
, e a expansão ao redor de
dá uma circunferência pequena centrada em
. De modo análogo, para
pouco abaixo de
(perto do topo) expandimos ao redor de
e obtemos outra circunferência pequena em torno de
.
Passo 5
No meio da banda,
, a condição vira
que no primeiro BZ (
) corresponde a uma curva quadrada (diamante) unindo os pontos médios
e
.
Resposta
(a) Perto do fundo de banda
ou seja, dispersão parabólica.
(b) A massa efetiva no mínimo é
(b) A massa efetiva no mínimo é
(c) Na primeira zona de Brillouin (retângulo
):
– Para : superfície de Fermi é um círculo pequeno em torno de
.
– Para : superfície de Fermi é um diamante ligando
e
.
– Para : superfície de Fermi é um círculo pequeno em torno de
.
– Para
– Para
– Para