La banda transportadora A, la cual forma un ángulo de
con la horizontal, se mueve a velocidad constante de 5 pies/s y es usada para cargar un avión. Sabiendo que el trabajador lanza una maleta con velocidad inicial de 1.5 pies/s en un ángulo de
con la horizontal, determine la velocidad de la maleta relativa a la banda cuando esta cae en la banda.
Passo 1
O enunciado pede que se encontre a velocidade da maleta relativa à banda no instante em que a maleta cai sobre a banda. Dados fornecidos (pego do enunciado):
- A banda forma um ângulo de
com a horizontal e move-se com velocidade constante de ao longo da sua direção. - A maleta é lançada com velocidade inicial de
em um ângulo de com a horizontal. - A gravidade vale aproximadamente
.
O que queremos calcular: a velocidade da maleta relativa à banda no momento do impacto, isto é, o vetor
avaliado no instante em que a trajetória da maleta intersecta a reta que representa a superfície da banda.
Passo 2
Escolher um sistema de referência e escrever as componentes das velocidades iniciais. Vamos usar eixos cartesianes: eixo
horizontal para a direita e eixo
vertical para cima. Colocamos o ponto de lançamento na origem
e consideramos que a banda passa também por essa origem com equação
(ou seja, a banda é uma reta inclinada a
passando pela origem).
Componentes da velocidade inicial da maleta (do enunciado, decompor em
):
Calculemos numericamentes:
Velocidade da banda (módulo
) ao longo da direção
:
Valores numéricos:
Passo 3
Descrição da trajetória da maleta (movimento sob gravidade). As equações paramétricas (origem no lançamento) são:
A maleta atinge a banda quando a sua posição
satisfaz a equação da banda
. Então impondo
Fatorando
(solução
corresponde ao lançamento, desprezamos), obtemos para o tempo de impacto
:
Passo 4
Calcular numericamente o tempo de impacto usando os valores encontrados:
Logo
Passo 5
Velocidade da maleta no instante do impacto (derivada da posição). As componentes da velocidade da maleta no instante
são:
Substituindo
calculado:
Portanto o vetor velocidade da maleta (relativo ao solo) no impacto é
Passo 6
Agora calculamos a velocidade relativa da maleta em relação à banda:
Componentes:
Módulo:
Passo 7
Interpretação útil: decompor a velocidade relativa em componentes paralela e perpendicular à banda (unidades e sinais informam direção).
- Vetor unitário paralelo à banda:
. - Componente paralela:
O sinal negativo indica que, no instante do impacto, a maleta está se movendo relativamente à banda no sentido contrário ao movimento da banda (ela “vai para trás” sobre a banda) com velocidade de
ao longo da superfície.
- Vetor unitário perpendicular (apontando para cima e fora da banda):
. - Componente perpendicular:
O sinal negativo indica que a componente perpendicular está direcionada para dentro/para baixo em relação à superfície da banda (ou seja, a maleta está aproximando-se da banda com velocidade normal de
).
Resposta
Componente paralela à banda:
Componente perpendicular à banda: