La banda transportadora A, la cual forma un ángulo de 20^{\circ} con la horizontal, se mueve a velocidad constante de 5 pies/s y es usada para cargar un avión. Sabiendo que el trabajador lanza una maleta con velocidad inicial de 1.5 pies/s en un ángulo de 30^{\circ} con la horizontal, determine la velocidad de la maleta relativa a la banda cuando esta cae en la banda.

Passo 1

O enunciado pede que se encontre a velocidade da maleta relativa à banda no instante em que a maleta cai sobre a banda. Dados fornecidos (pego do enunciado):
  • A banda forma um ângulo de 20^\circ com a horizontal e move-se com velocidade constante de 5\\ \text{ft/s} ao longo da sua direção.
  • A maleta é lançada com velocidade inicial de 1{,}5\\ \text{ft/s} em um ângulo de 30^\circ com a horizontal.
  • A gravidade vale aproximadamente g=32\\ \text{ft/s}^2.
    O que queremos calcular: a velocidade da maleta relativa à banda no momento do impacto, isto é, o vetor
\mathbf{v}_{\text{rel}}=\mathbf{v}_{\text{maleta}}-\mathbf{v}_{\text{banda}}
avaliado no instante em que a trajetória da maleta intersecta a reta que representa a superfície da banda.

Passo 2

Escolher um sistema de referência e escrever as componentes das velocidades iniciais. Vamos usar eixos cartesianes: eixo x horizontal para a direita e eixo y vertical para cima. Colocamos o ponto de lançamento na origem (0,0) e consideramos que a banda passa também por essa origem com equação y=x\tan 20^\circ (ou seja, a banda é uma reta inclinada a 20^\circ passando pela origem).
Componentes da velocidade inicial da maleta (do enunciado, decompor em x,y):
u_x = 1{,}5\cos 30^\circ,\qquad u_y = 1{,}5\sin 30^\circ.
Calculemos numericamentes:
\cos 30^\circ = 0{,}8660254,\quad \sin 30^\circ = 0{,}5,
u_x = 1{,}5\cdot 0{,}8660254 \approx 1{,}299038\\ \text{ft/s}, \qquad u_y = 1{,}5\cdot 0{,}5 = 0{,}75\\ \text{ft/s}.
Velocidade da banda (módulo 5\\ \text{ft/s}) ao longo da direção 20^\circ:
v_{b,x}=5\cos 20^\circ,\qquad v_{b,y}=5\sin 20^\circ.
Valores numéricos:
\cos 20^\circ\approx 0{,}9396926,\quad \sin 20^\circ\approx 0{,}3420201,
v_{b,x}\approx 5\cdot 0{,}9396926 = 4{,}698463\\ \text{ft/s}, \qquad v_{b,y}\approx 5\cdot 0{,}3420201 = 1{,}7101005\\ \text{ft/s}.

Passo 3

Descrição da trajetória da maleta (movimento sob gravidade). As equações paramétricas (origem no lançamento) são:
x(t)=u_x t, \qquad y(t)=u_y t-\tfrac{1}{2}gt^2.
A maleta atinge a banda quando a sua posição (x(t),y(t)) satisfaz a equação da banda y=x\tan 20^\circ. Então impondo
u_y t-\tfrac{1}{2}gt^2 = u_x t\tan 20^\circ.
Fatorando t (solução t=0 corresponde ao lançamento, desprezamos), obtemos para o tempo de impacto t>0:
u_y - u_x\tan 20^\circ - \tfrac{1}{2}g t = 0 \quad\Rightarrow\quad t=\dfrac{2\bigl(u_y - u_x\tan 20^\circ\bigr)}{g}.

Passo 4

Calcular numericamente o tempo de impacto usando os valores encontrados:
\tan 20^\circ \approx 0{,}363970234,
u_x\tan20^\circ \approx 1{,}299038\cdot 0{,}363970234 \approx 0{,}472812,
u_y - u_x\tan20^\circ \approx 0{,}75 - 0{,}472812 = 0{,}277188.
Logo
t=\dfrac{2\cdot 0{,}277188}{32} \approx \dfrac{0{,}554376}{32} \approx 0{,}017324\\ \text{s}.

Passo 5

Velocidade da maleta no instante do impacto (derivada da posição). As componentes da velocidade da maleta no instante t são:
v_x(t)=u_x \quad(\text{pois não há aceleração em }x), \qquad v_y(t)=u_y - g t.ãáçã
Substituindo t calculado:
v_x = u_x \approx 1{,}299038\\ \text{ft/s},
v_y = 0{,}75 - 32\cdot 0{,}017324 \approx 0{,}75 - 0{,}554378 \approx 0{,}195622\\ \text{ft/s}.
Portanto o vetor velocidade da maleta (relativo ao solo) no impacto é
\mathbf{v}_{\text{maleta}} \approx \langle 1{,}299038,\;0{,}195622\rangle\\ \text{ft/s}.

Passo 6

Agora calculamos a velocidade relativa da maleta em relação à banda:
\mathbf{v}_{\text{rel}}=\mathbf{v}_{\text{maleta}}-\mathbf{v}_{\text{banda}}.
Componentes:
v_{\text{rel},x}=1{,}299038 - 4{,}698463 \approx -3{,}399425\\ \text{ft/s},
v_{\text{rel},y}=0{,}195622 - 1{,}7101005 \approx -1{,}5144785\\ \text{ft/s}.
Módulo:
\|\mathbf{v}_{\text{rel}}\|=\sqrt{(-3{,}399425)^2+(-1{,}5144785)^2} \approx \sqrt{11{,}55609 + 2{,}29365} \approx \sqrt{13{,}84974}\approx 3{,}722\\ \text{ft/s}.

Passo 7

Interpretação útil: decompor a velocidade relativa em componentes paralela e perpendicular à banda (unidades e sinais informam direção).
  • Vetor unitário paralelo à banda: \mathbf{u}_{\parallel}=(\cos20^\circ,\sin20^\circ).
  • Componente paralela:
v_{\parallel}=\mathbf{v}_{\text{rel}}\cdot\mathbf{u}_{\parallel} \approx (-3{,}399425)(0{,}9396926)+(-1{,}5144785)(0{,}3420201) \approx -3{,}711\\ \text{ft/s}.
O sinal negativo indica que, no instante do impacto, a maleta está se movendo relativamente à banda no sentido contrário ao movimento da banda (ela “vai para trás” sobre a banda) com velocidade de 3{,}711\\ \text{ft/s} ao longo da superfície.
  • Vetor unitário perpendicular (apontando para cima e fora da banda): \mathbf{u}_{\perp}=(-\sin20^\circ,\cos20^\circ).
  • Componente perpendicular:
v_{\perp}=\mathbf{v}_{\text{rel}}\cdot\mathbf{u}_{\perp} \approx (-3{,}399425)(-0{,}3420201)+(-1{,}5144785)(0{,}9396926) \approx -0{,}260\\ \text{ft/s}.
O sinal negativo indica que a componente perpendicular está direcionada para dentro/para baixo em relação à superfície da banda (ou seja, a maleta está aproximando-se da banda com velocidade normal de 0{,}260\\ \text{ft/s}).

Resposta

\mathbf{v}_{\text{rel}}\approx\langle -3{,}399\,,\\\ -1{,}514\rangle\\ \text{ft/s} (componentes x,y)
\|\mathbf{v}_{\text{rel}}\|\approx 3{,}72\\ \text{ft/s}
Componente paralela à banda: v_{\parallel}\approx -3{,}711\\ \text{ft/s} (negativo = sentido contrário ao movimento da banda)
Componente perpendicular à banda: v_{\perp}\approx -0{,}260\\ \text{ft/s} (negativo = dirigindo-se para a banda)

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