El bloque A inicia su movimiento desde el reposo a
y se mueve hacia abajo con una aceleración constante de
. Sabiendo que el bloque B se mueve hacia arriba con velocidad constante de
, determine a) el tiempo cuando la velocidad del bloque
es cero, b)
.
Passo 1
Vou deixar muito claro o que o enunciado me dá e o que ele pede.
- O enunciado (texto) fornece:
- O bloco
parte do repouso em . - O bloco
move-se para baixo com aceleração constante de . - O bloco
move-se para cima com velocidade constante de .
- O bloco
- O enunciado pede:
- (a) o tempo quando a velocidade do bloco
é zero; - (b)
(velocidade de relativa a ).
- (a) o tempo quando a velocidade do bloco
Observações importantes (informação que falta ou é ambígua):
- Para relacionar as velocidades de
, e é necessária a equação de comprimento da corda (o modo como os três blocos estão conectados por polias/cordas). O enunciado textual não fornece essa equação. - Há uma imagem enviada, mas ela contém números e unidades diferentes (parecem ft/s, ângulos, esquiadores) e não está clara a ligação por cordas/polias entre
. Há inconsistência entre os dados textuais (in/s) e os números visíveis na figura (ft/s), então não dá para confiar nela sem confirmação. - Faltam também as velocidades iniciais (em
) de e explicitamente (no texto B tem velocidade constante, mas falta sinal/convencão) e a convenção de sinais (para cima/para baixo como positivo).
Portanto, com os dados atuais o problema está incompleto: falta a restrição geométrica (equação da corda) que determina como
e
se relacionam.
Passo 2
O que seria necessário para resolver numericamente e sem ambiguidade:
- A equação do comprimento da corda que relacione as coordenadas (deslocamentos) de
, e . Ex.: uma relação do tipo constante. - A convenção de sinais (por exemplo, tomar deslocamentos positivos para baixo para
e , e positivo para cima para — ou outra convenção). - Unidades consistentes e confirmação de que os números fornecidos no texto (in/s) são os corretos a usar, pois a figura mostra outros valores/ unidades.
- As velocidades iniciais de
e em (se não forem as já dadas), embora para foi dito velocidade constante de .
Sem a equação de restrição da corda (ou uma figura clara que mostre como as polias ligam os blocos), não há como obter de forma única o tempo pedido em (a) nem
em (b).
Passo 3
Mesmo não podendo dar um único resultado sem a restrição, vou ensinar passo a passo o método que se usa em prova para problemas desse tipo — assim você sabe exatamente o que fazer assim que confirmar a geometria da corda. Vou também mostrar o cálculo com uma suposição típica (aviso: é só uma suposição; se a restrição for outra, os números mudam).
-
Definir coordenadas e convenção de sinais.
- Seja
, , os deslocamentos medidos ao longo das direções relevantes. - Exemplo de convenção: tomar positivo para baixo para
e , e positivo para cima para . (Escolha a convenção que facilite o problema; depois seja consistente.)
- Seja
-
Escrever a restrição da corda (equação do comprimento).
-
Em muitos arranjos comuns com uma polia móvel ligando dois blocos a um terceiro, uma restrição típica émas isto depende exatamente de como a corda passa pelas polias. O coeficiente 2 aparece se, por exemplo, uma polia móvel faz com que
esteja ligado por dois segmentos da corda que mudam de comprimento quando se move. -
IMPORTANTE: essa é somente uma forma típica. Verifique na figura/diagrama do problema qual é a verdadeira equação do comprimento.
-
-
Diferenciar a restrição para obter relação entre velocidades.
- Diferenciando em relação ao tempo, a restrição
const leva a onde , , . - Deste modo obtém-se explicitamente
em função de e :
- Diferenciando em relação ao tempo, a restrição
-
Usar as leis do movimento para
e . - Se
parte do repouso e tem aceleração constante , então No problema dado , logo (com a convenção escolhida: positivo para baixo). - Se
tem velocidade constante , então essa constante. No texto foi dito para , mas lembre-se de aplicar o sinal conforme a sua convenção (se escolhi acima positivo para cima, então in/s; se escolhi positivo para baixo, seria in/s).
- Se
-
Determinar o tempo em que
. - Partindo da relação (assumida)
, imponha . Isso dá - Substitua as expressões de
e . Com a convenção “para baixo positivo” e assumindo que se move para cima (logo ) e , temos Observação: se a sua convenção for diferente, ajuste os sinais; o critério é sempre se a restrição for a do exemplo.
- Partindo da relação (assumida)
-
Calcular
(velocidade de relativa a ). - A velocidade relativa é definida por
- No instante
(do exemplo), com (para baixo positivo) e (pois sobe), obtemos - Interpretação:
aproxima-se de a segundo essa convenção.
- A velocidade relativa é definida por
-
Conclusão sobre o método:
- Passos práticos na prova: (i) desenhe o diagrama com coordenadas, (ii) escreva a equação do comprimento da corda conforme o caminho da corda, (iii) diferencie para obter relação entre velocidades, (iv) use as condições de movimento (velocidade/ aceleração de cada bloco) e resolva simbolicamente ou numericamente.
- Se a equação da corda for diferente da que eu usei no exemplo, repita os passos 3–6 com a equação correta; o procedimento é o mesmo, só a relação entre
muda.
Passo 4
Resumo do que eu fiz e aviso final:
- Eu não posso afirmar uma única resposta numérica sem saber exatamente a equação de comprimento (como a corda/poluia ligam os blocos). Portanto, a resposta única não é possível com os dados tal como estão.
- No entanto, se a restrição for a típica
constante (uma suposição comum em problemas com uma polia móvel ligada a ), e se adotarmos a convenção “para baixo positivo” (assim tem e subindo tem ), então os cálculos dão: - (a)
quando ; - (b)
(velocidade de relativa a , com sinal indicando que se move para baixo em relação a ).
- (a)
Se você puder confirmar a geometria da corda/polias (uma figura nítida mostrando como as cordas estão passadas) eu repito os cálculos com total segurança e direi se o resultado numérico muda. Forneça também confirmação das unidades (in/s vs ft/s) se a figura mostrada for a correta.
Resposta
Não é possível determinar de forma única — falta informação sobre a conexão dos blocos pela corda/polias.
(Sob a suposição const e tomando para baixo positivo: a)
. b)
.)
(Sob a suposição