El bloque A inicia su movimiento desde el reposo a \mathrm{t}=0 y se mueve hacia abajo con una aceleración constante de 2 \mathrm{in} / \mathrm{s}^{2}. Sabiendo que el bloque B se mueve hacia arriba con velocidad constante de 4 \mathrm{in} / \mathrm{s}, determine a) el tiempo cuando la velocidad del bloque C es cero, b) v_{\mathrm{A} / \mathrm{B}}.

Passo 1

Vou deixar muito claro o que o enunciado me dá e o que ele pede.
  • O enunciado (texto) fornece:
    • O bloco A parte do repouso em t=0.
    • O bloco A move-se para baixo com aceleração constante de 2\\ \mathrm{in/s^{2}}.
    • O bloco B move-se para cima com velocidade constante de 4\\ \mathrm{in/s}.
  • O enunciado pede:
    • (a) o tempo quando a velocidade do bloco C é zero;
    • (b) v_{A/B} (velocidade de A relativa a B).
Observações importantes (informação que falta ou é ambígua):
  • Para relacionar as velocidades de A, B e C é necessária a equação de comprimento da corda (o modo como os três blocos estão conectados por polias/cordas). O enunciado textual não fornece essa equação.
  • Há uma imagem enviada, mas ela contém números e unidades diferentes (parecem ft/s, ângulos, esquiadores) e não está clara a ligação por cordas/polias entre A,B,C. Há inconsistência entre os dados textuais (in/s) e os números visíveis na figura (ft/s), então não dá para confiar nela sem confirmação.
  • Faltam também as velocidades iniciais (em t=0) de B e C explicitamente (no texto B tem velocidade constante, mas falta sinal/convencão) e a convenção de sinais (para cima/para baixo como positivo).
Portanto, com os dados atuais o problema está incompleto: falta a restrição geométrica (equação da corda) que determina como v_A, v_B e v_C se relacionam.

Passo 2

O que seria necessário para resolver numericamente e sem ambiguidade:
  • A equação do comprimento da corda que relacione as coordenadas (deslocamentos) de A, B e C. Ex.: uma relação do tipo \,f(s_A,s_B,s_C)= constante.
  • A convenção de sinais (por exemplo, tomar deslocamentos positivos para baixo para A e C, e positivo para cima para B — ou outra convenção).
  • Unidades consistentes e confirmação de que os números fornecidos no texto (in/s) são os corretos a usar, pois a figura mostra outros valores/ unidades.
  • As velocidades iniciais de B e C em t=0 (se não forem as já dadas), embora para B foi dito velocidade constante de 4\\ \mathrm{in/s}.
Sem a equação de restrição da corda (ou uma figura clara que mostre como as polias ligam os blocos), não há como obter de forma única o tempo pedido em (a) nem v_{A/B} em (b).

Passo 3

Mesmo não podendo dar um único resultado sem a restrição, vou ensinar passo a passo o método que se usa em prova para problemas desse tipo — assim você sabe exatamente o que fazer assim que confirmar a geometria da corda. Vou também mostrar o cálculo com uma suposição típica (aviso: é só uma suposição; se a restrição for outra, os números mudam).
  1. Definir coordenadas e convenção de sinais.
    • Seja s_A(t), s_B(t), s_C(t) os deslocamentos medidos ao longo das direções relevantes.
    • Exemplo de convenção: tomar positivo para baixo para A e C, e positivo para cima para B. (Escolha a convenção que facilite o problema; depois seja consistente.)
  2. Escrever a restrição da corda (equação do comprimento).
    • Em muitos arranjos comuns com uma polia móvel ligando dois blocos a um terceiro, uma restrição típica é
      s_A + s_B + 2s_C = \text{constante},
      mas isto depende exatamente de como a corda passa pelas polias. O coeficiente 2 aparece se, por exemplo, uma polia móvel faz com que C esteja ligado por dois segmentos da corda que mudam de comprimento quando C se move.
    • IMPORTANTE: essa é somente uma forma típica. Verifique na figura/diagrama do problema qual é a verdadeira equação do comprimento.
  3. Diferenciar a restrição para obter relação entre velocidades.
    • Diferenciando em relação ao tempo, a restrição \,s_A + s_B + 2s_C= const leva a v_A + v_B + 2 v_C = 0,onde v_A=\dot s_A, v_B=\dot s_B, v_C=\dot s_C.
    • Deste modo obtém-se explicitamente v_C em função de v_A e v_B: v_C = -\frac{v_A+v_B}{2}.
  4. Usar as leis do movimento para v_A e v_B.
    • Se A parte do repouso e tem aceleração constante a_A, então v_A(t) = v_{A0} + a_A t = 0 + a_A t = a_A t.No problema dado a_A=2\\ \mathrm{in/s^2}, logo \,v_A(t)=2t\\ \mathrm{in/s} (com a convenção escolhida: positivo para baixo).
    • Se B tem velocidade constante v_B, então v_B(t)= essa constante. No texto foi dito 4\\ \mathrm{in/s} para B, mas lembre-se de aplicar o sinal conforme a sua convenção (se escolhi acima positivo para cima, então v_B=+4 in/s; se escolhi positivo para baixo, seria v_B=-4 in/s).
  5. Determinar o tempo em que v_C=0.
    • Partindo da relação (assumida) v_C = -\dfrac{v_A+v_B}{2}, imponha v_C=0. Isso dá 0 = -\frac{v_A+v_B}{2}\quad\Longrightarrow\quad v_A+v_B=0.
    • Substitua as expressões de v_A(t) e v_B. Com a convenção “para baixo positivo” e assumindo que B se move para cima (logo v_B=-4\\ \mathrm{in/s}) e v_A(t)=2t, temos 2t + (-4)=0 \quad\Longrightarrow\quad t=2\\ \mathrm{s}.Observação: se a sua convenção for diferente, ajuste os sinais; o critério é sempre v_A+v_B=0 se a restrição for a do exemplo.
  6. Calcular v_{A/B} (velocidade de A relativa a B).
    • A velocidade relativa é definida por v_{A/B} = v_A - v_B.
    • No instante t=2\\ \mathrm{s} (do exemplo), com v_A=2t=4\\ \mathrm{in/s} (para baixo positivo) e v_B=-4\\ \mathrm{in/s} (pois B sobe), obtemos v_{A/B} = 4 - (-4)=8\\ \mathrm{in/s}.
    • Interpretação: A aproxima-se de B a 8\\ \mathrm{in/s} segundo essa convenção.
  7. Conclusão sobre o método:
    • Passos práticos na prova: (i) desenhe o diagrama com coordenadas, (ii) escreva a equação do comprimento da corda conforme o caminho da corda, (iii) diferencie para obter relação entre velocidades, (iv) use as condições de movimento (velocidade/ aceleração de cada bloco) e resolva simbolicamente ou numericamente.
    • Se a equação da corda for diferente da que eu usei no exemplo, repita os passos 3–6 com a equação correta; o procedimento é o mesmo, só a relação entre v_A,v_B,v_C muda.

Passo 4

Resumo do que eu fiz e aviso final:
  • Eu não posso afirmar uma única resposta numérica sem saber exatamente a equação de comprimento (como a corda/poluia ligam os blocos). Portanto, a resposta única não é possível com os dados tal como estão.
  • No entanto, se a restrição for a típica \,s_A+s_B+2s_C=constante (uma suposição comum em problemas com uma polia móvel ligada a C), e se adotarmos a convenção “para baixo positivo” (assim A tem v_A=2t e B subindo tem v_B=-4), então os cálculos dão:
    • (a) t=2\\ \mathrm{s} quando v_C=0;
    • (b) v_{A/B}=8\\ \mathrm{in/s} (velocidade de A relativa a B, com sinal indicando que A se move para baixo em relação a B).
Se você puder confirmar a geometria da corda/polias (uma figura nítida mostrando como as cordas estão passadas) eu repito os cálculos com total segurança e direi se o resultado numérico muda. Forneça também confirmação das unidades (in/s vs ft/s) se a figura mostrada for a correta.

Resposta

Não é possível determinar de forma única — falta informação sobre a conexão dos blocos pela corda/polias.
(Sob a suposição \,s_A+s_B+2s_C=const e tomando para baixo positivo: a) t=2\\ \mathrm{s}. b) v_{A/B}=8\\ \mathrm{in/s}.)

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