Las velocidades de los esquiadores A y B son mostradas. Determine a) la velocidad de A con respecto a \mathrm{B}, \mathrm{b}) La velocidad de B con respecto a A.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) a velocidade de A em relação a B (isto é, \vec v_{A/B});
  • (b) a velocidade de B em relação a A (isto é, \vec v_{B/A}).
Informações que o enunciado e a figura fornecem (extraídas da imagem):
  • A velocidade de A está indicada como um vetor de módulo genérico v_A apontando ao longo da rampa para a direita.
  • A rampa faz um ângulo de 20^\circ acima da horizontal (peguei este valor da imagem).
  • A velocidade inicial de B está indicada como um vetor de módulo genérico v_B (na figura aparece como (v_B)_0) fazendo um ângulo de 30^\circ acima da horizontal (peguei este valor da imagem).
  • Há uma cota vertical de 1,5\\ \mathrm{ft} mostrada na imagem (peguei este valor da imagem), mas essa altura não é necessária para o cálculo de velocidades relativas constantes indicadas.
Observação: os módulos v_A e v_B não estão numéricos na figura que foi enviada, por isso a resposta será expressa em termos de v_A e v_B.

Passo 2

Conceito-chave (aula rápida e informal): velocidade relativa.
  • A velocidade de A com respeito a B é o vetor que diz como a posição de A vista por um observador que se move com B muda no tempo.
  • Matematicamente vale a fórmula simples e fundamental:
\vec v_{A/B}=\vec v_A-\vec v_B.
  • Analogamente,
\vec v_{B/A}=\vec v_B-\vec v_A = -\vec v_{A/B}.
Explicando em palavras: subtrai-se o vetor velocidade do observador (aqui B) da velocidade do objeto observado (aqui A).

Passo 3

Escolha de sistema de referência e decomposição (passo prático e didático).
  • Vou tomar um sistema de eixos cartesianos com o eixo x horizontal para a direita e o eixo y vertical para cima. Isso é conveniente porque os ângulos na figura são dados em relação à horizontal.
  • Para decompor um vetor de módulo v que forma um ângulo \theta acima da horizontal usamos as fórmulas:
    • componente horizontal: v_x = v\cos\theta,
    • componente vertical: v_y = v\sin\theta.
  • Aqui:
    • \vec v_A tem módulo v_A e direção 20^\circ acima da horizontal, logo
    \vec v_A = \langle v_A\cos20^\circ,\; v_A\sin20^\circ\rangle.
    • \vec v_B tem módulo v_B e direção 30^\circ acima da horizontal, logo
    \vec v_B = \langle v_B\cos30^\circ,\; v_B\sin30^\circ\rangle.
  • Observação sobre sinais: ambos têm componentes positivas em x e y porque os ângulos são acima da horizontal e apontam para a direita.

Passo 4

Calcular \vec v_{A/B} por componentes (desenvolvimento passo a passo).
  • Aplicando \vec v_{A/B}=\vec v_A-\vec v_B e subtraindo as componentes correspondentes obtemos:
\vec v_{A/B}=\langle v_A\cos20^\circ - v_B\cos30^\circ,\; v_A\sin20^\circ - v_B\sin30^\circ\rangle.
  • Aqui cada entrada da lista é uma componente: a primeira é a componente horizontal ( x), a segunda a vertical ( y).

Passo 5

Interpretação e como obter módulo e direção da velocidade relativa (se precisar na prova).
  • O módulo de \vec v_{A/B} é
\|\vec v_{A/B}\|=\sqrt{\big(v_A\cos20^\circ - v_B\cos30^\circ\big)^2 + \big(v_A\sin20^\circ - v_B\sin30^\circ\big)^2 }.
  • O ângulo \varphi que \vec v_{A/B} faz com a horizontal (positivo para cima) pode ser encontrado por
\varphi=\arctan\!\left(\dfrac{v_A\sin20^\circ - v_B\sin30^\circ}{\,v_A\cos20^\circ - v_B\cos30^\circ\,}\right),
desde que a componente horizontal não seja zero (se for zero, o ângulo é 90^\circ ou -90^\circ dependendo do sinal da componente vertical).
  • Essas fórmulas são diretas aplicações do teorema de Pitágoras e da definição da tangente em triângulos retângulos para a direção.

Passo 6

Obter \vec v_{B/A} (passo direto e uso da relação de anti-simetria).
  • Pela relação \vec v_{B/A}=-\vec v_{A/B} temos imediatamente, por componentes,
\vec v_{B/A}=\langle v_B\cos30^\circ - v_A\cos20^\circ,\; v_B\sin30^\circ - v_A\sin20^\circ\rangle.
  • O módulo de \vec v_{B/A} é o mesmo que o de \vec v_{A/B}, isto é,
\|\vec v_{B/A}\|=\|\vec v_{A/B}\|.

Passo 7

Exemplo numérico (para treinar — opcional na prova): suponha v_A=10 e v_B=8 (unidades quaisquer). Substitui-se nas fórmulas acima e calcula-se as componentes usando \cos20^\circ, \sin20^\circ, \cos30^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, \sin30^\circ=\tfrac{1}{2}. Isso dá procedimento mecânico: decompor, subtrair, depois usar Pitágoras/atan para módulo e direção.

Resposta

\displaystyle \vec v_{A/B}=\langle v_A\cos20^\circ - v_B\cos30^\circ,\; v_A\sin20^\circ - v_B\sin30^\circ\rangle
\displaystyle \vec v_{B/A}=\langle v_B\cos30^\circ - v_A\cos20^\circ,\; v_B\sin30^\circ - v_A\sin20^\circ\rangle

Exercícios relacionados