Las velocidades de los esquiadores A y B son mostradas. Determine a) la velocidad de A con respecto a
La velocidad de B con respecto a A.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) a velocidade de
em relação a (isto é, ); - (b) a velocidade de
em relação a (isto é, ).
Informações que o enunciado e a figura fornecem (extraídas da imagem):
- A velocidade de
está indicada como um vetor de módulo genérico apontando ao longo da rampa para a direita. - A rampa faz um ângulo de
acima da horizontal (peguei este valor da imagem). - A velocidade inicial de
está indicada como um vetor de módulo genérico (na figura aparece como ) fazendo um ângulo de acima da horizontal (peguei este valor da imagem). - Há uma cota vertical de
mostrada na imagem (peguei este valor da imagem), mas essa altura não é necessária para o cálculo de velocidades relativas constantes indicadas.
Observação: os módulos
e
não estão numéricos na figura que foi enviada, por isso a resposta será expressa em termos de
e
.
Passo 2
Conceito-chave (aula rápida e informal): velocidade relativa.
- A velocidade de
com respeito a é o vetor que diz como a posição de vista por um observador que se move com muda no tempo. - Matematicamente vale a fórmula simples e fundamental:
- Analogamente,
Explicando em palavras: subtrai-se o vetor velocidade do observador (aqui
) da velocidade do objeto observado (aqui
).
Passo 3
Escolha de sistema de referência e decomposição (passo prático e didático).
- Vou tomar um sistema de eixos cartesianos com o eixo
horizontal para a direita e o eixo vertical para cima. Isso é conveniente porque os ângulos na figura são dados em relação à horizontal. - Para decompor um vetor de módulo
que forma um ângulo acima da horizontal usamos as fórmulas: - componente horizontal:
, - componente vertical:
.
- componente horizontal:
- Aqui:
-
tem módulo e direção acima da horizontal, logo
-
tem módulo e direção acima da horizontal, logo
-
- Observação sobre sinais: ambos têm componentes positivas em
e porque os ângulos são acima da horizontal e apontam para a direita.
Passo 4
Calcular
por componentes (desenvolvimento passo a passo).
- Aplicando
e subtraindo as componentes correspondentes obtemos:
- Aqui cada entrada da lista é uma componente: a primeira é a componente horizontal (
), a segunda a vertical ( ).
Passo 5
Interpretação e como obter módulo e direção da velocidade relativa (se precisar na prova).
- O módulo de
é
- O ângulo
que faz com a horizontal (positivo para cima) pode ser encontrado por
desde que a componente horizontal não seja zero (se for zero, o ângulo é
ou
dependendo do sinal da componente vertical).
- Essas fórmulas são diretas aplicações do teorema de Pitágoras e da definição da tangente em triângulos retângulos para a direção.
Passo 6
Obter
(passo direto e uso da relação de anti-simetria).
- Pela relação
temos imediatamente, por componentes,
- O módulo de
é o mesmo que o de , isto é,
Passo 7
Exemplo numérico (para treinar — opcional na prova): suponha
e
(unidades quaisquer). Substitui-se nas fórmulas acima e calcula-se as componentes usando
,
,
,
. Isso dá procedimento mecânico: decompor, subtrair, depois usar Pitágoras/atan para módulo e direção.