Um barco
navega em linha reta na direção sul a uma velocidade constante de
, e o barco
viaja em linha reta para o leste a uma velocidade constante de
.
Quando os barcos deixam de se aproximar, e qual a distância entre eles neste instante?
Quando os barcos deixam de se aproximar, e qual a distância entre eles neste instante?
Passo 1
O enunciado descreve dois barcos que partem juntos de um mesmo ponto no início do movimento: um barco
que vai para o sul a
,
e um barco
que vai para o leste a
,
. O que se pede é o instante em que a distância entre eles deixa de diminuir (ou seja, quando atinge valor mínimo) e qual é essa distância nesse instante. Vamos usar coordenadas e derivadas (taxas relacionadas).
Passo 2
Escolhemos a origem no ponto de partida de ambos e eixos tal que
distância percorrida por
para o leste,
distância percorrida por
para o sul.
Então
Então
Passo 3
A distância entre os barcos num instante
é
Passo 4
Para saber quando
para de diminuir, calculamos
Note que
é constante e positiva para todo
.
Passo 5
Como
desde
, isso significa que a distância começa a crescer imediatamente e nunca chega a diminuir após a partida. Portanto o valor mínimo de
ocorre exatamente em
.
Resposta
Eles deixam de se aproximar já no instante
e, nesse momento, a distância entre eles é
.