Um barco A navega em linha reta na direção sul a uma velocidade constante de 16 km / h, e o barco B viaja em linha reta para o leste a uma velocidade constante de 12 km / h.
Quando os barcos deixam de se aproximar, e qual a distância entre eles neste instante?

Passo 1

O enunciado descreve dois barcos que partem juntos de um mesmo ponto no início do movimento: um barco A que vai para o sul a 16, km/h e um barco B que vai para o leste a 12, km/h. O que se pede é o instante em que a distância entre eles deixa de diminuir (ou seja, quando atinge valor mínimo) e qual é essa distância nesse instante. Vamos usar coordenadas e derivadas (taxas relacionadas).

Passo 2

Escolhemos a origem no ponto de partida de ambos e eixos tal que
;,x(t) = distância percorrida por B para o leste,
;y(t) = distância percorrida por A para o sul.
Então
x(t)=12,t,
y(t)=16,t

Passo 3

A distância entre os barcos num instante t é
r(t)=raizx(t)^2+y(t)^2 =raiz(12t)^2+(16t)^2 =raiz144t^2+256t^2 =raiz400,t^2 =20,t

Passo 4

Para saber quando r(t) para de diminuir, calculamos
drdt =ddt(20,t) =20(km/h)
Note que tfracdrdt é constante e positiva para todo t>0.

Passo 5

Como tfracdrdt>0 desde t=0^+, isso significa que a distância começa a crescer imediatamente e nunca chega a diminuir após a partida. Portanto o valor mínimo de r(t) ocorre exatamente em t=0.

Resposta

Eles deixam de se aproximar já no instante t=0 e, nesse momento, a distância entre eles é 0.

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