Um barco A navega em linha reta na direção sul a uma velocidade constante de 16 km / h, e o barco B viaja em linha reta para o leste a uma velocidade constante de 12 km / h.
A que taxa os barcos se aproximam (ou se distanciam) ao final de uma hora?

Passo 1

O enunciado descreve dois barcos que partem do mesmo ponto: o barco A vai para o sul com velocidade constante de 16,km/h e o barco B vai para o leste com velocidade constante de 12,km/h. Precisamos encontrar a taxa de variação da distância entre eles, D(t), no instante t=1,h. O conteúdo aqui é um problema de taxas relacionadas usando o Teorema de Pitágoras e derivação implícita.

Passo 2

Vamos colocar num sistema de coordenadas: após t horas,
– a abscissa (distância a leste) do barco B é
x(t) = 12,t,
– a ordenada (distância ao sul) do barco A é
y(t) = 16,t
Pela geometria, a separação entre os barcos é
D(t) = raizx(t)^2 + y(t)^2

Passo 3

Para achar a taxa dDdt, derivamos em relação a t usando derivada de raizcdot e regra da cadeia:
D(t) = (x^2 + y^2)^1/2 Longrightarrow dDdt = 12raizx^2+y^2;2l(xdxdt+ydydtr) = x,dot x + y,dot yD,
onde dot x = dxdt e dot y = dydt.

Passo 4

No instante t=1,h temos
x(1)=12, y(1)=16, dot x=12, dot y=16,
e
D(1)=raiz12^2 + 16^2 = raiz144+256 = 20
Substituindo em dDdt = x,dot x + y,dot yD:
dDdtg|t=1 = 12cdot12 + 16cdot1620 = 144 + 25620 = 40020 = 20

Resposta

Os barcos estão se distanciando à razão de 20,km/h ao final de uma hora.

Exercícios relacionados