Um barco navega em linha reta na direção sul a uma velocidade constante de , e o barco viaja em linha reta para o leste a uma velocidade constante de .
A que taxa os barcos se aproximam (ou se distanciam) ao final de uma hora?
Passo 1
O enunciado descreve dois barcos que partem do mesmo ponto: o barco vai para o sul com velocidade constante de ,km/h e o barco vai para o leste com velocidade constante de ,km/h. Precisamos encontrar a taxa de variação da distância entre eles, , no instante ,h. O conteúdo aqui é um problema de taxas relacionadas usando o Teorema de Pitágoras e derivação implícita.
Passo 2
Vamos colocar num sistema de coordenadas: após horas,
– a abscissa (distância a leste) do barco é
– a ordenada (distância ao sul) do barco é
Pela geometria, a separação entre os barcos é
Passo 3
Para achar a taxa , derivamos em relação a usando derivada de e regra da cadeia:
onde e .
Passo 4
No instante ,h temos
e
Substituindo em :
Resposta
Os barcos estão se distanciando à razão de 20,km/h ao final de uma hora.