Uma barra de aço circular constante tem diâmetro
, comprimento
e densidade
. A barra está pendurada no teto de uma estrutura e está ancorada por um pino de seção circular. O pino tem raio
, comprimento de ancoragem
e , o atrito provoca uma tensão de cisalhamento constante
. Pede-se: a) Calcular o alongamento total da barra devido ao peso próprio e, b) O comprimento da ancoragem
para suportar o peso da barra. (2,0 pts)
Passo 1
O enunciado nos dá uma barra de aço circular, pendurada pelo teto, com as seguintes informações (todas listadas para ficar bem claro):
- diâmetro da barra:
; - comprimento da barra:
; - densidade do material da barra:
; - há um pino de ancoragem de seção circular com raio
e comprimento de ancoragem ; - o atrito no pino provoca uma tensão de cisalhamento constante igual a
.
O que se pede:
(a) calcular o alongamento total da barra devido ao próprio peso;
(b) determinar o comprimento de ancoragem necessário para suportar o peso da barra (usando que a tensão de cisalhamento admissível é
).
(a) calcular o alongamento total da barra devido ao próprio peso;
(b) determinar o comprimento de ancoragem
Observação importante (informação necessária para resolver a parte (a) e não fornecida explicitamente no enunciado): para relacionar tensão e deformação axial é preciso o módulo de Young do aço. Denotarei esse módulo por
. A resposta ficará em função de
(ou, se souber o valor numérico de
para o aço, pode substituir depois).
Passo 2
Entender a força interna ao longo da barra (explanação didática):
Imagine um ponto a uma distância medida a partir do topo da barra (onde está presa) em direção à extremidade livre. A parte da barra abaixo desse ponto tem comprimento
e exerce sobre a seção em
o peso dessa parte. Vamos calcular essa força interna que comprime/esticará a seção em
.
Imagine um ponto a uma distância
Área da seção transversal da barra (círculo):
Massa por unidade de comprimento (densidade linear):
Força (peso) da porção da barra abaixo de
:
onde
é a aceleração da gravidade.
Comentário didático: esse
é justamente a força axial que a seção em
precisa resistir; ela varia com
(maior perto do topo).
Passo 3
Relação tensão-deformação e alongamento elemental (aulas rápidas):
- Tensão normal axial em
: . - Deformação axial (alongamento relativo) em
: pela lei de Hooke para tração linear elástica, , onde é o módulo de Young. - Alongamento de um elemento infinitesimal de comprimento
na posição : .
Agora vamos escrever explicitamente essas expressões.
Tensão em
:
Observe que a área cancela — para uma barra de seção constante a tensão axial depende apenas da densidade,
e da distância até a extremidade livre.
Deformação em
:
Alongamento elemental:
Passo 4
Integrar para obter o alongamento total (passo-a-passo das contas):
O alongamento total da barra é a soma (integral) dos alongamentos elementares ao longo de todo o comprimento, de
(topo) até
(ponta livre):
O alongamento total
Fatorando constantes fora da integral:
Calcule a integral:
Portanto:
Interpretação rápida: o alongamento cresce com o quadrado do comprimento (por isso barras longas esticam muito mais por seu próprio peso) e é inversamente proporcional a
(materiais mais rígidos alongam menos).
Passo 5
Responder e explicar a parte (b): resistência da ancoragem por cisalhamento.
Queremos o comprimento de ancoragem tal que a resistência por atrito (tensão de cisalhamento admissível multiplicada pela área de contato) seja igual ao peso total da barra.
Queremos o comprimento de ancoragem
Peso total da barra (força a ser suportada):
Área sujeita ao esforço cortante (explicação física):
Assumimos que o atrito (ou o esforço cortante) se distribui uniformemente na superfície lateral cilíndrica do pino/ancoragem. A área dessa superfície lateral é:
Assumimos que o atrito (ou o esforço cortante) se distribui uniformemente na superfície lateral cilíndrica do pino/ancoragem. A área dessa superfície lateral é:
Força máxima que a ancoragem suporta devido à tensão de cisalhamento admissível:
Para que a ancoragem suporte o peso, impondo
e igualando para obter o mínimo necessário:
Resolver para
:
Simplificando (cancelando
):
Comentário prático: essa fórmula assume distribuição uniforme de tensão de cisalhamento e que
é realmente a tensão limite na superfície. Em projeto prático, deve-se aplicar coeficiente de segurança, verificar estado limite de arrancamento, aderência, fadiga etc., mas matematicamente essa é a expressão mínima para
.
Passo 6
Checagem rápida de consistência dimensional (para dar segurança de que as fórmulas fazem sentido):
- No alongamento
: unidades , , , . Fazendo as contas, sobra unidade , adequada para um alongamento. - No
: tem unidades de pressão , o numerador tem com unidades , dividido por dá ; mas há um fator no denominador (unidade ) e o 8 adimensional, então o resultado tem unidade , condizente para um comprimento.
Resposta
(a)
(b)