Uma barra de aço circular constante tem diâmetro d, comprimento L e densidade \rho. A barra está pendurada no teto de uma estrutura e está ancorada por um pino de seção circular. O pino tem raio r, comprimento de ancoragem h e , o atrito provoca uma tensão de cisalhamento constante \tau_{\text {adm }}. Pede-se: a) Calcular o alongamento total da barra devido ao peso próprio e, b) O comprimento da ancoragem h para suportar o peso da barra. (2,0 pts)

Passo 1

O enunciado nos dá uma barra de aço circular, pendurada pelo teto, com as seguintes informações (todas listadas para ficar bem claro):
  • diâmetro da barra: \displaystyle d;
  • comprimento da barra: \displaystyle L;
  • densidade do material da barra: \displaystyle \rho;
  • há um pino de ancoragem de seção circular com raio \displaystyle r e comprimento de ancoragem \displaystyle h;
  • o atrito no pino provoca uma tensão de cisalhamento constante igual a \displaystyle \tau_{\text{adm}}.
O que se pede:
(a) calcular o alongamento total da barra devido ao próprio peso;
(b) determinar o comprimento de ancoragem \displaystyle h necessário para suportar o peso da barra (usando que a tensão de cisalhamento admissível é \displaystyle \tau_{\text{adm}}).
Observação importante (informação necessária para resolver a parte (a) e não fornecida explicitamente no enunciado): para relacionar tensão e deformação axial é preciso o módulo de Young do aço. Denotarei esse módulo por \displaystyle E. A resposta ficará em função de \displaystyle E (ou, se souber o valor numérico de \displaystyle E para o aço, pode substituir depois).

Passo 2

Entender a força interna ao longo da barra (explanação didática):
Imagine um ponto a uma distância \displaystyle x medida a partir do topo da barra (onde está presa) em direção à extremidade livre. A parte da barra abaixo desse ponto tem comprimento \displaystyle L-x e exerce sobre a seção em x o peso dessa parte. Vamos calcular essa força interna que comprime/esticará a seção em x.
Área da seção transversal da barra (círculo):
A=\frac{\pi d^{2}}{4}.
Massa por unidade de comprimento (densidade linear):
\lambda=\rho A=\rho\left(\frac{\pi d^{2}}{4}\right).
Força (peso) da porção da barra abaixo de x:
F(x)=\text{(massa da porção)}\cdot g=\lambda (L-x) g=\rho\left(\frac{\pi d^{2}}{4}\right)(L-x)g,çã
onde \displaystyle g é a aceleração da gravidade.
Comentário didático: esse \displaystyle F(x) é justamente a força axial que a seção em x precisa resistir; ela varia com \displaystyle x (maior perto do topo).

Passo 3

Relação tensão-deformação e alongamento elemental (aulas rápidas):
  • Tensão normal axial em x: \displaystyle \sigma(x)=\dfrac{F(x)}{A}.
  • Deformação axial (alongamento relativo) em x: pela lei de Hooke para tração linear elástica, \displaystyle \varepsilon(x)=\dfrac{\sigma(x)}{E}, onde \displaystyle E é o módulo de Young.
  • Alongamento de um elemento infinitesimal de comprimento \displaystyle dx na posição x: \displaystyle d\delta=\varepsilon(x)\,dx.
Agora vamos escrever explicitamente essas expressões.
Tensão em x:
\sigma(x)=\frac{F(x)}{A}=\frac{\rho\left(\dfrac{\pi d^{2}}{4}\right)(L-x)g}{\dfrac{\pi d^{2}}{4}}=\rho g (L-x).
Observe que a área cancela — para uma barra de seção constante a tensão axial depende apenas da densidade, g e da distância até a extremidade livre.
Deformação em x:
\varepsilon(x)=\frac{\sigma(x)}{E}=\frac{\rho g (L-x)}{E}.
Alongamento elemental:
d\delta=\varepsilon(x)\,dx=\frac{\rho g (L-x)}{E}\,dx.

Passo 4

Integrar para obter o alongamento total (passo-a-passo das contas):
O alongamento total \displaystyle \Delta da barra é a soma (integral) dos alongamentos elementares ao longo de todo o comprimento, de \displaystyle x=0 (topo) até \displaystyle x=L (ponta livre):
\Delta=\int_{0}^{L} d\delta=\int_{0}^{L}\frac{\rho g (L-x)}{E}\,dx.
Fatorando constantes fora da integral:
\Delta=\frac{\rho g}{E}\int_{0}^{L}(L-x)\,dx.
Calcule a integral:
\int_{0}^{L}(L-x)\,dx=\left[Lx-\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{L}=L^{2}-\frac{L^{2}}{2}=\frac{L^{2}}{2}.
Portanto:
\Delta=\frac{\rho g}{E}\cdot\frac{L^{2}}{2}=\frac{\rho g L^{2}}{2E}.
Interpretação rápida: o alongamento cresce com o quadrado do comprimento (por isso barras longas esticam muito mais por seu próprio peso) e é inversamente proporcional a \displaystyle E (materiais mais rígidos alongam menos).

Passo 5

Responder e explicar a parte (b): resistência da ancoragem por cisalhamento.
Queremos o comprimento de ancoragem \displaystyle h tal que a resistência por atrito (tensão de cisalhamento admissível multiplicada pela área de contato) seja igual ao peso total da barra.
Peso total da barra (força a ser suportada):
W=\text{massa total}\cdot g=\rho A L g=\rho\left(\frac{\pi d^{2}}{4}\right)L g.
Área sujeita ao esforço cortante (explicação física):
Assumimos que o atrito (ou o esforço cortante) se distribui uniformemente na superfície lateral cilíndrica do pino/ancoragem. A área dessa superfície lateral é:
A_{\text{cis}}=\text{circunferência}\times\text{comprimento}=(2\pi r)h=2\pi r h.ê
Força máxima que a ancoragem suporta devido à tensão de cisalhamento admissível:
F_{\max}=\tau_{\text{adm}}\,A_{\text{cis}}=\tau_{\text{adm}}(2\pi r h).
Para que a ancoragem suporte o peso, impondo F_{\max}\ge W e igualando para obter o mínimo necessário:
\tau_{\text{adm}}(2\pi r h)=\rho\left(\frac{\pi d^{2}}{4}\right)L g.
Resolver para \displaystyle h:
h=\frac{\rho\left(\dfrac{\pi d^{2}}{4}\right)L g}{2\pi r \,\tau_{\text{adm}}}.
Simplificando (cancelando \pi):
h=\frac{\rho d^{2} L g}{8 r \,\tau_{\text{adm}}}.
Comentário prático: essa fórmula assume distribuição uniforme de tensão de cisalhamento e que \displaystyle \tau_{\text{adm}} é realmente a tensão limite na superfície. Em projeto prático, deve-se aplicar coeficiente de segurança, verificar estado limite de arrancamento, aderência, fadiga etc., mas matematicamente essa é a expressão mínima para \displaystyle h.

Passo 6

Checagem rápida de consistência dimensional (para dar segurança de que as fórmulas fazem sentido):
  • No alongamento \displaystyle \Delta=\dfrac{\rho g L^{2}}{2E}: unidades \displaystyle [\rho]=\text{kg/m}^3, \displaystyle [g]=\text{m/s}^2, \displaystyle [L^{2}]=\text{m}^2, \displaystyle [E]=\text{Pa}=\text{N/m}^2=\text{kg/(m·s^2)}. Fazendo as contas, sobra unidade \displaystyle \text{m}, adequada para um alongamento.
  • No \displaystyle h=\dfrac{\rho d^{2} L g}{8 r \,\tau_{\text{adm}}}: \displaystyle \tau_{\text{adm}} tem unidades de pressão (\text{N/m}^2), o numerador tem \rho d^{2} L g com unidades \text{kg/m}^3\cdot m^{2}\cdot m\cdot m/s^2=\text{kg·m/s^2}=\text{N}, dividido por \text{N/m}^2 \text{m}^2; mas há um fator r no denominador (unidade \text{m}) e o 8 adimensional, então o resultado tem unidade \text{m}, condizente para um comprimento.

Resposta

(a) \displaystyle \Delta=\frac{\rho g L^{2}}{2E}
(b) \displaystyle h=\frac{\rho d^{2} L g}{8 r \,\tau_{\text{adm}}}

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