(RESNICK 20163 13) Quais das expressões vetoriais a seguir estão corretas? O que está errado nas expressões incorretas?
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a expressão abaixo é correta e, se não for, explicar o que está errado. A expressão dada é:
.
Informações explícitas que temos do enunciado:
- O número
é um escalar (um número). -
e são vetores, e é o produto vetorial entre eles (ou seja, é um vetor).
Passo 2
O que é um escalar e o que é um vetor (explicação didática)?
- Escalar: um simples número, por exemplo
, , . Não tem direção, só magnitude (valor). - Vetor: um objeto que tem magnitude e direção, por exemplo
em componentes. Vetores somam entre si componente a componente; a soma de dois vetores resulta em outro vetor.
Regra importante de tipo: só se pode somar objetos do mesmo tipo (ou seja, escalar com escalar; vetor com vetor). Somar um escalar diretamente a um vetor não é uma operação definida em álgebra vetorial padrão.
Passo 3
O que é o produto vetorial (cross product)?
- O produto vetorial
toma dois vetores e resulta em outro vetor que é perpendicular a ambos e . - Portanto
é um vetor, não um escalar.
Concluindo deste passo:
é um vetor;
é escalar. Tipos diferentes.
Passo 4
Por que a expressão
é inválida?
- A operação
aqui tentaria somar um escalar com um vetor. Essa soma não está definida na notação vetorial usada em álgebra vetorial básica. - Exemplo concreto (para sentir o problema): escolha
e . Então
.
A expressão escrita seria. Não faz sentido matemático: não existe regra que transforme automaticamente o em um triplo ou algo assim sem especificação; faltou indicar uma direção para o .
Passo 5
Como corrigir a expressão, se a intenção fosse somar “algo equivalente a 5” com o vetor?
Algumas alternativas válidas, dependendo do que o autor quis dizer:
Algumas alternativas válidas, dependendo do que o autor quis dizer:
- Se a intenção era somar dois vetores, transformar o escalar
num vetor multiplicando por um vetor unitário escolhido: por exemplo , onde é um vetor unitário bem definido (isso converte o em um vetor de magnitude na direção ). - Se a intenção era somar dois escalares, trocar o produto vetorial pelo produto escalar:
. Aqui é escalar e a soma é bem definida. - Se a intenção era apenas escalarizar ou destacar magnitude do cross, pode-se usar a norma:
(soma de escalares).
Passo 6
Resumo prático e dica para prova (como reconhecer rápido):
- Olhe os tipos: se um termo é escalar e outro é vetor, a soma é inválida.
- Pergunte-se: quisera o autor um vetor final ou um escalar final? Ajuste convertendo um termo (por exemplo
) em vetor (multiplicando por um vetor unitário) ou convertendo o vetor em escalar (usando produto escalar ou norma).
Força aí — esse tipo de erro é muito comum e fácil de identificar olhando só para os tipos (escalar vs vetor).
Resposta
Incorreta; não se pode somar o escalar
com o vetor
.