(RESNICK 20163 13) Quais das expressões vetoriais a seguir estão corretas? O que está errado nas expressões incorretas?
5+(\vec{B} \times \vec{C})

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a expressão abaixo é correta e, se não for, explicar o que está errado. A expressão dada é:
5+(\vec{B}\times\vec{C}).
Informações explícitas que temos do enunciado:
  • O número 5 é um escalar (um número).
  • \vec{B} e \vec{C} são vetores, e \vec{B}\times\vec{C} é o produto vetorial entre eles (ou seja, é um vetor).

Passo 2

O que é um escalar e o que é um vetor (explicação didática)?
  • Escalar: um simples número, por exemplo 5, -2, 0{,}3. Não tem direção, só magnitude (valor).
  • Vetor: um objeto que tem magnitude e direção, por exemplo \vec{v}=(v_x,v_y,v_z) em componentes. Vetores somam entre si componente a componente; a soma de dois vetores resulta em outro vetor.
Regra importante de tipo: só se pode somar objetos do mesmo tipo (ou seja, escalar com escalar; vetor com vetor). Somar um escalar diretamente a um vetor não é uma operação definida em álgebra vetorial padrão.

Passo 3

O que é o produto vetorial (cross product)?
  • O produto vetorial \vec{B}\times\vec{C} toma dois vetores e resulta em outro vetor que é perpendicular a ambos \vec{B} e \vec{C}.
  • Portanto \vec{B}\times\vec{C} é um vetor, não um escalar.
Concluindo deste passo: \vec{B}\times\vec{C} é um vetor; 5 é escalar. Tipos diferentes.

Passo 4

Por que a expressão 5+(\vec{B}\times\vec{C}) é inválida?
  • A operação + aqui tentaria somar um escalar com um vetor. Essa soma não está definida na notação vetorial usada em álgebra vetorial básica.
  • Exemplo concreto (para sentir o problema): escolha \vec{B}=(1,0,0) e \vec{C}=(0,1,0). Então
    \vec{B}\times\vec{C}=(0,0,1).
    A expressão escrita seria 5+(0,0,1). Não faz sentido matemático: não existe regra que transforme automaticamente o 5 em um triplo (5,5,5) ou algo assim sem especificação; faltou indicar uma direção para o 5.

Passo 5

Como corrigir a expressão, se a intenção fosse somar “algo equivalente a 5” com o vetor?
Algumas alternativas válidas, dependendo do que o autor quis dizer:
  • Se a intenção era somar dois vetores, transformar o escalar 5 num vetor multiplicando por um vetor unitário escolhido: por exemplo 5\hat{u}+(\vec{B}\times\vec{C}), onde \hat{u} é um vetor unitário bem definido (isso converte o 5 em um vetor de magnitude 5 na direção \hat{u}).
  • Se a intenção era somar dois escalares, trocar o produto vetorial pelo produto escalar: 5+(\vec{B}\cdot\vec{C}). Aqui \vec{B}\cdot\vec{C} é escalar e a soma é bem definida.
  • Se a intenção era apenas escalarizar ou destacar magnitude do cross, pode-se usar a norma: 5+\|\vec{B}\times\vec{C}\| (soma de escalares).

Passo 6

Resumo prático e dica para prova (como reconhecer rápido):
  • Olhe os tipos: se um termo é escalar e outro é vetor, a soma é inválida.
  • Pergunte-se: quisera o autor um vetor final ou um escalar final? Ajuste convertendo um termo (por exemplo 5) em vetor (multiplicando por um vetor unitário) ou convertendo o vetor em escalar (usando produto escalar ou norma).
Força aí — esse tipo de erro é muito comum e fácil de identificar olhando só para os tipos (escalar vs vetor).

Resposta

Incorreta; não se pode somar o escalar 5 com o vetor \vec{B}\times\vec{C}.

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