(RESNICK 20163 13) Quais das expressões vetoriais a seguir estão corretas? O que está errado nas expressões incorretas?
\vec{A}+(\vec{B} \times \vec{C})

Passo 1

O enunciado dá a expressão \vec{A}+(\vec{B}\times\vec{C}) e pede para dizer se ela está correta.
Informações fornecidas (implícitas): \vec{A}, \vec{B} e \vec{C} são vetores.
O que é pedido: verificar se a operação é válida e, se não for, explicar o que está errado.

Passo 2

Regra básica para soma de vetores: só se pode somar duas quantidades quando elas são do mesmo “tipo”. No caso de vetores, a soma é bem definida entre dois vetores do mesmo espaço vetorial (por exemplo, dois vetores em \mathbb{R}^3). A soma é feita componente a componente, isto é, para \vec{U}=(U_x,U_y,U_z) e \vec{V}=(V_x,V_y,V_z) vale
\vec{U}+\vec{V}=(U_x+V_x,\;U_y+V_y,\;U_z+V_z).
Portanto, para \vec{A}+(\vec{B}\times\vec{C}) ser válida, \vec{B}\times\vec{C} precisa ser um vetor no mesmo espaço de \vec{A}.

Passo 3

O que é o produto vetorial: o produto vetorial \vec{B}\times\vec{C} está definido (no sentido usual) para vetores em \mathbb{R}^3. O resultado é um vetor em \mathbb{R}^3 (perpendicular a \vec{B} e \vec{C}). A fórmula em componentes é
\vec{B}\times\vec{C}=\bigl(B_yC_z-B_zC_y,\;B_zC_x-B_xC_z,\;B_xC_y-B_yC_x\bigr).
Logo, se \vec{B},\vec{C}\in\mathbb{R}^3, então \vec{B}\times\vec{C}\in\mathbb{R}^3.

Passo 4

Verificação de tipo: se assumirmos que \vec{A},\vec{B},\vec{C}\in\mathbb{R}^3, então \vec{B}\times\vec{C} é um vetor em \mathbb{R}^3 e a soma \vec{A}+(\vec{B}\times\vec{C}) é uma soma de dois vetores em \mathbb{R}^3, portanto é perfeitamente válida e resulta em outro vetor em \mathbb{R}^3.

Passo 5

Exemplo numérico para fixar a ideia (tudo em \mathbb{R}^3). Tome
\vec{A}=(1,2,3), \vec{B}=(0,1,0), \vec{C}=(1,0,0). Então, pelo produto vetorial,
\vec{B}\times\vec{C}=\bigl(1\cdot0-0\cdot0,\;0\cdot1-0\cdot1,\;0\cdot0-1\cdot1\bigr)=(0,0,-1).
Somando com \vec{A} componente a componente:
\vec{A}+(\vec{B}\times\vec{C})=(1,2,3)+(0,0,-1)=(1,2,2).
Isto mostra operacionalmente que a expressão faz sentido e produz um vetor.

Passo 6

Quando seria incorreta? Casos a observar:
  • Se \vec{B} e \vec{C} não forem vetores em \mathbb{R}^3 (por exemplo vetores em \mathbb{R}^2 sem interpretação em 3D), o produto vetorial, na sua definição padrão, não está definido — aí a expressão não faria sentido.
  • Se alguém confundisse \times com produto escalar (\cdot) e esperasse um número: \vec{B}\cdot\vec{C} é escalar, e \vec{A}+(\vec{B}\cdot\vec{C}) seria inválida porque somaria vetor e escalar. Cuidado com esse deslize.
  • Em dimensões diferentes de 3 (exceto algumas generalizações exóticas), não se usa o produto vetorial tradicional; então é preciso especificar o espaço onde os vetores vivem.

Passo 7

Resumo didático rápido e dica para a prova: quando ver uma expressão mista, pergunte “qual é o tipo/espço de cada termo?”. Se todos forem vetores no mesmo espaço, a soma é válida. Lembre que \times (produto vetorial) retorna vetor somente em \mathbb{R}^3 (na maioria dos exercícios básicos).

Resposta

A expressão \vec{A}+(\vec{B}\times\vec{C}) está correta, desde que \vec{A},\vec{B},\vec{C}\in\mathbb{R}^3. Caso \vec{B} e \vec{C} não pertençam a \mathbb{R}^3, \vec{B}\times\vec{C} não está definido e a expressão seria incorreta.

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