(RESNICK 20163 13) Quais das expressões vetoriais a seguir estão corretas? O que está errado nas expressões incorretas?
Passo 1
O enunciado dá a expressão
e pede para dizer se ela está correta.
Informações fornecidas (implícitas): ,
e
são vetores.
O que é pedido: verificar se a operação é válida e, se não for, explicar o que está errado.
Informações fornecidas (implícitas):
O que é pedido: verificar se a operação é válida e, se não for, explicar o que está errado.
Passo 2
Regra básica para soma de vetores: só se pode somar duas quantidades quando elas são do mesmo “tipo”. No caso de vetores, a soma é bem definida entre dois vetores do mesmo espaço vetorial (por exemplo, dois vetores em
). A soma é feita componente a componente, isto é, para
e
vale
Portanto, para
ser válida,
precisa ser um vetor no mesmo espaço de
.
Passo 3
O que é o produto vetorial: o produto vetorial
está definido (no sentido usual) para vetores em
. O resultado é um vetor em
(perpendicular a
e
). A fórmula em componentes é
Logo, se
, então
.
Passo 4
Verificação de tipo: se assumirmos que
, então
é um vetor em
e a soma
é uma soma de dois vetores em
, portanto é perfeitamente válida e resulta em outro vetor em
.
Passo 5
Exemplo numérico para fixar a ideia (tudo em
). Tome
,
,
. Então, pelo produto vetorial,
Somando com
componente a componente:
Isto mostra operacionalmente que a expressão faz sentido e produz um vetor.
Passo 6
Quando seria incorreta? Casos a observar:
- Se
e não forem vetores em (por exemplo vetores em sem interpretação em 3D), o produto vetorial, na sua definição padrão, não está definido — aí a expressão não faria sentido. - Se alguém confundisse
com produto escalar e esperasse um número: é escalar, e seria inválida porque somaria vetor e escalar. Cuidado com esse deslize. - Em dimensões diferentes de 3 (exceto algumas generalizações exóticas), não se usa o produto vetorial tradicional; então é preciso especificar o espaço onde os vetores vivem.
Passo 7
Resumo didático rápido e dica para a prova: quando ver uma expressão mista, pergunte “qual é o tipo/espço de cada termo?”. Se todos forem vetores no mesmo espaço, a soma é válida. Lembre que
(produto vetorial) retorna vetor somente em
(na maioria dos exercícios básicos).
Resposta
A expressão
está correta, desde que
. Caso
e
não pertençam a
,
não está definido e a expressão seria incorreta.