Uma barra de aço dúctil laminado a quente possui uma resistência ao escoamento mínima sob tração e compressão igual a 350 MPa . Utilizando as teorias da energia de distorção e tensão de cisalhamento máxima, determine os fatores de segurança para os seguintes estados de tensão plana:
\sigma_{x}=84 \mathrm{MPa}, \tau_{x y}=-56 \mathrm{MPa}.

Passo 1

O enunciado dá um estado de tensão plana com as seguintes informações:
  • Resistência ao escoamento mínima do aço: \,S_y=350\\ \mathrm{MPa}.
  • Componentes do estado de tensão (pegar do enunciado):
    • \sigma_x=84\\ \mathrm{MPa}.
    • \tau_{xy}=-56\\ \mathrm{MPa}.
  • Não foi informado \sigma_y. Para um problema de tensão plana assim, adotamos \sigma_y=0\\ \mathrm{MPa} (caso contrário não há dados suficientes).
O que se pede:
  • Determinar o fator de segurança usando a teoria da energia de distorção (von Mises).
  • Determinar o fator de segurança usando a teoria da tensão de cisalhamento máxima (Tresca).
Vou calcular passo a passo (sem pular contas) e explicar as fórmulas e o significado de cada variável.

Passo 2

Calcular as tensões principais, porque elas são úteis para ambas as teorias.
Fórmula para as tensões principais em tensão plana:
\sigma_{1,2}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2},
onde
  • \sigma_x e \sigma_y são as tensões normais nas direções x e y,
  • \tau_{xy} é a tensão de cisalhamento no plano xy,
  • \sigma_1 é a maior tensão principal e \sigma_2 a menor (nesta convenção).
Substituindo \sigma_x=84\\ \mathrm{MPa}, \sigma_y=0\\ \mathrm{MPa} e \tau_{xy}=-56\\ \mathrm{MPa}:
Primeiro a média:
\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}=\frac{84+0}{2}=42\\ \mathrm{MPa}.
O termo dentro da raiz:
\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2 =42^2+(-56)^2=1764+3136=4900\\ (\mathrm{MPa}^2).
Raiz:
\sqrt{4900}=70\\ \mathrm{MPa}.
Logo as tensões principais são:
\sigma_1=42+70=112\\ \mathrm{MPa}, \qquad \sigma_2=42-70=-28\\ \mathrm{MPa}.
Interpretação rápida: há uma tensão trativa \sigma_1=112\\ \mathrm{MPa} e uma compressiva \sigma_2=-28\\ \mathrm{MPa}.

Passo 3

Teoria da energia de distorção (von Mises) — explicação e fórmula.
Ideia física (resumida e intuitiva): materiais dúcteis falham por escoamento quando a energia associada à distorção (mudança de forma, não de volume) alcança um valor crítico. A medida dessa “energia de distorção” pode ser expressa por uma tensão equivalente \sigma_\mathrm{eq} (tensão de von Mises). Compara-se \sigma_\mathrm{eq} com S_y.
Fórmula (para estado plano, \sigma_y pode ser zero):
\sigma_\mathrm{eq}=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2-\sigma_x\sigma_y+3\tau_{xy}^2},
onde \sigma_\mathrm{eq} é a tensão equivalente de von Mises.
Substituindo \sigma_x=84, \sigma_y=0, \tau_{xy}=-56 (todas em \mathrm{MPa}):
Calcule cada termo:
\sigma_x^2=84^2=7056, \qquad \sigma_y^2=0^2=0, \qquad -\sigma_x\sigma_y=0, \qquad 3\tau_{xy}^2=3\cdot(-56)^2=3\cdot3136=9408.
Somando:
7056+0+0+9408=16464\\ (\mathrm{MPa}^2).
Raiz:
\sigma_\mathrm{eq}=\sqrt{16464}\approx128{,}30\\ \mathrm{MPa}.
Fator de segurança pela von Mises:
n_{\text{vM}}=\frac{S_y}{\sigma_\mathrm{eq}}=\frac{350}{128{,}30}\approx2{,}73.
Explicando o que isso significa: com essa carga, a tensão equivalente é cerca de 128{,}3\\ \mathrm{MPa}; como S_y=350\\ \mathrm{MPa}, o fator de segurança é aproximadamente 2{,}73 segundo von Mises — isto é, a carga poderia ser aumentada ~2,73 vezes antes de atingir o escoamento, segundo essa teoria.

Passo 4

Teoria da tensão de cisalhamento máxima (Tresca) — explicação e cálculo.
Ideia física (intuitiva): materiais dúcteis escoam quando a máxima tensão de cisalhamento no corpo atinge a metade da tensão de escoamento na tração. Em termos de tensões principais, a máxima tensão de cisalhamento é
\tau_\text{max}=\frac{\max\{|\sigma_1-\sigma_2|,|\sigma_2-\sigma_3|,|\sigma_3-\sigma_1|\}}{2},
onde \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3 são as três tensões principais.
Em tensão plana, \sigma_3=0 (tensão fora do plano), então basta comparar os três pares. Usando os valores que já calculamos:
\sigma_1=112\\ \mathrm{MPa},\qquad \sigma_2=-28\\ \mathrm{MPa},\qquad \sigma_3=0\\ \mathrm{MPa}.
Calcule as diferenças:
\frac{|\sigma_1-\sigma_2|}{2}=\frac{|112-(-28)|}{2}=\frac{140}{2}=70\\ \mathrm{MPa},
\frac{|\sigma_2-\sigma_3|}{2}=\frac{|-28-0|}{2}=\frac{28}{2}=14\\ \mathrm{MPa},
\frac{|\sigma_3-\sigma_1|}{2}=\frac{|0-112|}{2}=\frac{112}{2}=56\\ \mathrm{MPa}.
A maior delas é \tau_\text{max}=70\\ \mathrm{MPa}.
Pelo critério de Tresca, o escoamento ocorre quando \tau_\text{max}=\dfrac{S_y}{2}. Para fator de segurança:
n_{\text{Tresca}}=\frac{S_y/2}{\tau_\text{max}}=\frac{350/2}{70}=\frac{175}{70}=2{,}50.
Observação alternativa (forma direta): como \sigma_1-\sigma_2=140\\ \mathrm{MPa}, e o critério Tresca compara \sigma_1-\sigma_2 com S_y, tem-se n=\dfrac{S_y}{\sigma_1-\sigma_2}=\dfrac{350}{140}=2{,}50, mesma resposta.

Passo 5

Resumo e interpretação curta (para fixar a ideia):
  • Von Mises usa uma tensão equivalente baseada na energia de distorção; dá aqui um fator de segurança um pouco maior porque prevê escoamento quando uma combinação quadrática das tensões atinge S_y.
  • Tresca usa a máxima tensão de cisalhamento; é geralmente mais conservador (menor fator de segurança) porque exige que a maior diferença entre tensões principais seja menor que S_y.
Força: as duas teorias concordam qualitativamente (ambos dizem que o componente solicitante está bem abaixo do limite), e numericamente temos n_{\text{Tresca}}<n_{\text{vM}}, como costuma acontecer para muitos estados de tensão.

Resposta

Energia de distorção (von Mises): n=2,73
Tensão de cisalhamento máxima (Tresca): n=2,50

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