Uma barra de aço dúctil laminado a quente possui uma resistência ao escoamento mínima sob tração e compressão igual a 350 MPa . Utilizando as teorias da energia de distorção e tensão de cisalhamento máxima, determine os fatores de segurança para os seguintes estados de tensão plana:
.
Passo 1
O enunciado dá um estado de tensão plana com as seguintes informações:
- Resistência ao escoamento mínima do aço:
. - Componentes do estado de tensão (pegar do enunciado):
-
. -
.
-
- Não foi informado
. Para um problema de tensão plana assim, adotamos (caso contrário não há dados suficientes).
O que se pede:
- Determinar o fator de segurança usando a teoria da energia de distorção (von Mises).
- Determinar o fator de segurança usando a teoria da tensão de cisalhamento máxima (Tresca).
Vou calcular passo a passo (sem pular contas) e explicar as fórmulas e o significado de cada variável.
Passo 2
Calcular as tensões principais, porque elas são úteis para ambas as teorias.
Fórmula para as tensões principais em tensão plana:
onde
-
e são as tensões normais nas direções e , -
é a tensão de cisalhamento no plano , -
é a maior tensão principal e a menor (nesta convenção).
Substituindo
,
e
:
Primeiro a média:
O termo dentro da raiz:
Raiz:
Logo as tensões principais são:
Interpretação rápida: há uma tensão trativa
e uma compressiva
.
Passo 3
Teoria da energia de distorção (von Mises) — explicação e fórmula.
Ideia física (resumida e intuitiva): materiais dúcteis falham por escoamento quando a energia associada à distorção (mudança de forma, não de volume) alcança um valor crítico. A medida dessa “energia de distorção” pode ser expressa por uma tensão equivalente
(tensão de von Mises). Compara-se
com
.
Fórmula (para estado plano,
pode ser zero):
onde
é a tensão equivalente de von Mises.
Substituindo
,
,
(todas em
):
Calcule cada termo:
Somando:
Raiz:
Fator de segurança pela von Mises:
Explicando o que isso significa: com essa carga, a tensão equivalente é cerca de
; como
, o fator de segurança é aproximadamente
segundo von Mises — isto é, a carga poderia ser aumentada ~2,73 vezes antes de atingir o escoamento, segundo essa teoria.
Passo 4
Teoria da tensão de cisalhamento máxima (Tresca) — explicação e cálculo.
Ideia física (intuitiva): materiais dúcteis escoam quando a máxima tensão de cisalhamento no corpo atinge a metade da tensão de escoamento na tração. Em termos de tensões principais, a máxima tensão de cisalhamento é
onde
são as três tensões principais.
Em tensão plana,
(tensão fora do plano), então basta comparar os três pares. Usando os valores que já calculamos:
Calcule as diferenças:
A maior delas é
.
Pelo critério de Tresca, o escoamento ocorre quando
. Para fator de segurança:
Observação alternativa (forma direta): como
, e o critério Tresca compara
com
, tem-se
, mesma resposta.
Passo 5
Resumo e interpretação curta (para fixar a ideia):
- Von Mises usa uma tensão equivalente baseada na energia de distorção; dá aqui um fator de segurança um pouco maior porque prevê escoamento quando uma combinação quadrática das tensões atinge
. - Tresca usa a máxima tensão de cisalhamento; é geralmente mais conservador (menor fator de segurança) porque exige que a maior diferença entre tensões principais seja menor que
.
Força: as duas teorias concordam qualitativamente (ambos dizem que o componente solicitante está bem abaixo do limite), e numericamente temos
, como costuma acontecer para muitos estados de tensão.
Resposta
Energia de distorção (von Mises):
Tensão de cisalhamento máxima (Tresca):