Uma barra de aço dúctil laminado a quente possui uma resistência ao escoamento mínima sob tração e compressão igual a 350 MPa . Utilizando as teorias da energia de distorção e tensão de cisalhamento máxima, determine os fatores de segurança para os seguintes estados de tensão plana:
\sigma_{x}=-42 \mathrm{MPa}, \sigma_{y}=-70 \mathrm{MPa}, \tau_{x y}=-35 \mathrm{MPa}.

Passo 1

O enunciado fornece um estado de tensão plana e pede os fatores de segurança usando duas teorias: energia de distorção (von Mises) e tensão de cisalhamento máxima (Tresca). Dados fornecidos:
  • Tensão de escoamento mínima sob tração/compressão: \sigma_{y}=350\\ \mathrm{MPa}.
  • Componentes do estado de tensão plana:
    • \sigma_{x}=-42\\ \mathrm{MPa}.
    • \sigma_{y}=-70\\ \mathrm{MPa}.
    • \tau_{xy}=-35\\ \mathrm{MPa}.
      O que é pedido:
  • Calcular o fator de segurança segundo a teoria da tensão de cisalhamento máxima (Tresca).
  • Calcular o fator de segurança segundo a teoria da energia de distorção (von Mises).

Passo 2

Primeiro precisamos obter as tensões principais do estado de tensão plana. As fórmulas para as tensões principais \sigma_{1} e \sigma_{2} (ordem arbitrária) são:
\sigma_{1,2}=\frac{\sigma_{x}+\sigma_{y}}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}\right)^{2}+\tau_{xy}^{2}}.
Vou calcular passo a passo os termos numéricos:
\frac{\sigma_{x}+\sigma_{y}}{2}=\frac{-42 + (-70)}{2}=\frac{-112}{2}=-56\\ \mathrm{MPa}.
\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}=\frac{-42-(-70)}{2}=\frac{28}{2}=14\\ \mathrm{MPa}.
\left(\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}\right)^{2}+\tau_{xy}^{2}=14^{2}+(-35)^{2}=196+1225=1421\\ (\mathrm{MPa}^{2}).
Raiz:
\sqrt{1421}\approx37{,}696\\ \mathrm{MPa}.
Logo as tensões principais são:
\sigma_{1}=-56+37{,}696\approx-18{,}304\\ \mathrm{MPa}, \qquad \sigma_{2}=-56-37{,}696\approx-93{,}696\\ \mathrm{MPa}.
Observação: \sigma_{1} é a maior (menos negativa) e \sigma_{2} a menor (mais negativa) das duas.

Passo 3

Agora uso a teoria da tensão de cisalhamento máxima (Tresca). Intuição e fórmula:
  • Tresca diz que o escoamento ocorre quando a maior diferença entre tensões principais atinge \sigma_{y}. Em termos práticos, o critério de Tresca para escoamento é:
\max\{\;|\sigma_{1}-\sigma_{2}|,\;|\sigma_{2}-\sigma_{3}|,\;|\sigma_{3}-\sigma_{1}|\;\}=\sigma_{y},
mas em estado de tensão plana \sigma_{3}=0 ou, se considerar plano com \sigma_3=0 — atenção: neste caso a fórmula mais direta que usamos é a diferença entre a maior e a menor tensão principal. Como estamos só com duas tensões principais, a diferença relevante é \sigma_{1}-\sigma_{2}. Aqui:
\sigma_{1}-\sigma_{2}=(-18{,}304)-(-93{,}696)=75{,}392\\ \mathrm{MPa}.
O fator de segurança segundo Tresca é dado por
n_{\text{Tresca}}=\frac{\sigma_{y}}{\sigma_{1}-\sigma_{2}}.
Substituindo:
n_{\text{Tresca}}=\frac{350}{75{,}392}\approx4{,}64.
(Outra forma equivalente é comparar \tau_{\max}=(\sigma_{1}-\sigma_{2})/2 com \tau_{y}=\sigma_{y}/2; dá o mesmo n.)

Passo 4

Agora aplico a teoria da energia de distorção (von Mises). Fórmula para tensão equivalente de von Mises em estado plano:
\sigma_{\text{vm}}=\sqrt{\sigma_{x}^{2}-\sigma_{x}\sigma_{y}+\sigma_{y}^{2}+3\tau_{xy}^{2}}.
Explicando sucintamente: \sigma_{\text{vm}} é uma única tensão que representa a energia de distorção do estado plano; quando \sigma_{\text{vm}}=\sigma_{y} o material entra em escoamento segundo este critério. Vamos calcular cada termo:
\sigma_{x}^{2}=(-42)^{2}=1764, \qquad \sigma_{y}^{2}=(-70)^{2}=4900,
-\sigma_{x}\sigma_{y}= -(-42)(-70)=-2940, \qquad 3\tau_{xy}^{2}=3\cdot(-35)^{2}=3\cdot1225=3675.
Somando:
1764-2940+4900+3675=7399\\ (\mathrm{MPa}^{2}).
\sigma_{\text{vm}}=\sqrt{7399}\approx86{,}02\\ \mathrm{MPa}.
O fator de segurança segundo von Mises é
n_{\text{vonMises}}=\frac{\sigma_{y}}{\sigma_{\text{vm}}}=\frac{350}{86{,}02}\approx4{,}07.

Passo 5

Resumo e interpretação curta:
  • Pelo critério de von Mises o fator de segurança é \approx4{,}07.
  • Pelo critério de Tresca o fator de segurança é \approx4{,}64.
    Isso significa que, para este estado de tensão, ambos os fatores são relativamente altos (segurança grande). Entre os dois critérios, o mais conservador aqui é o de von Mises (menor n), portanto se quiser escolher um único critério para projeto, adotar o valor von Mises é prudente. Força aí — esses cálculos são diretos na prova: primeiro calcula tensões principais (ou direto von Mises usando a fórmula), depois divide \sigma_{y} pela tensão equivalente correspondente.

Resposta

Fator de segurança (Energia de distorção — von Mises) = 4{,}07
Fator de segurança (Tensão de cisalhamento máxima — Tresca) = 4{,}64

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