Uma barra de aço dúctil laminado a quente possui uma resistência ao escoamento mínima sob tração e compressão igual a 350 MPa . Utilizando as teorias da energia de distorção e tensão de cisalhamento máxima, determine os fatores de segurança para os seguintes estados de tensão plana:
.
Passo 1
O enunciado fornece um estado de tensão plana e pede os fatores de segurança usando duas teorias: energia de distorção (von Mises) e tensão de cisalhamento máxima (Tresca). Dados fornecidos:
- Tensão de escoamento mínima sob tração/compressão:
. - Componentes do estado de tensão plana:
-
. -
. -
.
O que é pedido:
-
- Calcular o fator de segurança segundo a teoria da tensão de cisalhamento máxima (Tresca).
- Calcular o fator de segurança segundo a teoria da energia de distorção (von Mises).
Passo 2
Primeiro precisamos obter as tensões principais do estado de tensão plana. As fórmulas para as tensões principais
e
(ordem arbitrária) são:
Vou calcular passo a passo os termos numéricos:
Raiz:
Logo as tensões principais são:
Observação:
é a maior (menos negativa) e
a menor (mais negativa) das duas.
Passo 3
Agora uso a teoria da tensão de cisalhamento máxima (Tresca). Intuição e fórmula:
- Tresca diz que o escoamento ocorre quando a maior diferença entre tensões principais atinge
. Em termos práticos, o critério de Tresca para escoamento é:
mas em estado de tensão plana
ou, se considerar plano com
— atenção: neste caso a fórmula mais direta que usamos é a diferença entre a maior e a menor tensão principal. Como estamos só com duas tensões principais, a diferença relevante é
. Aqui:
O fator de segurança segundo Tresca é dado por
Substituindo:
(Outra forma equivalente é comparar
com
; dá o mesmo
.)
Passo 4
Agora aplico a teoria da energia de distorção (von Mises). Fórmula para tensão equivalente de von Mises em estado plano:
Explicando sucintamente:
é uma única tensão que representa a energia de distorção do estado plano; quando
o material entra em escoamento segundo este critério. Vamos calcular cada termo:
Somando:
O fator de segurança segundo von Mises é
Passo 5
Resumo e interpretação curta:
- Pelo critério de von Mises o fator de segurança é
. - Pelo critério de Tresca o fator de segurança é
.
Isso significa que, para este estado de tensão, ambos os fatores são relativamente altos (segurança grande). Entre os dois critérios, o mais conservador aqui é o de von Mises (menor), portanto se quiser escolher um único critério para projeto, adotar o valor von Mises é prudente. Força aí — esses cálculos são diretos na prova: primeiro calcula tensões principais (ou direto von Mises usando a fórmula), depois divide pela tensão equivalente correspondente.
Resposta
Fator de segurança (Energia de distorção — von Mises) =
Fator de segurança (Tensão de cisalhamento máxima — Tresca) =
Fator de segurança (Tensão de cisalhamento máxima — Tresca) =