Uma barra de aço dúctil laminado a quente possui uma resistência ao escoamento mínima sob tração e compressão igual a 350 MPa . Utilizando as teorias da energia de distorção e tensão de cisalhamento máxima, determine os fatores de segurança para os seguintes estados de tensão plana:
.
Passo 1
Vamos listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
-
Dados fornecidos:
- Resistência ao escoamento mínima (limite de escoamento):
. - Estado de tensão plana (assumindo ausência de cisalhamento in-plane):
, .
Observação: aqui o segundodo enunciado (estado de tensão plana) é a tensão em ; para evitar confusão com o limite de escoamento usei para a tensão e do limite como do material — quando for necessário, ficará claro pelo contexto. Para maior clareza, a resistência ao escoamento do material (limite) chamarei explicitamente de abaixo. - Vou denotar o limite de escoamento do material por
. - Não foi dado
, então assumimos (estado de tensão plana sem cisalhamento aplicado).
- Resistência ao escoamento mínima (limite de escoamento):
-
O que o enunciado pede:
- Determinar o fator de segurança usando a teoria da energia de distorção (critério de von Mises).
- Determinar o fator de segurança usando a teoria da tensão de cisalhamento máxima (critério de Tresca).
Passo 2
Determinar as tensões principais para o estado de tensão dado (passo necessário para aplicar os critérios). Explico o conceito rapidamente: tensões principais são os valores de tensão normal em direções onde não há cisalhamento (são os autovalores do tensor de tensões). Para o caso simples sem cisalhamento in-plane (
), as tensões principais são simplesmente as tensões normais em
e
, e a terceira tensão (no eixo
) é zero (condição de plano de tensão).
Portanto:
Passo 3
Teoria da energia de distorção (von Mises): explicação do conceito e fórmula.
-
Ideia intuitiva: o critério de von Mises prevê escoamento quando a energia de distorção (associada à mudança de forma, não à mudança de volume) atinge a mesma quantidade que no teste de tração uniaxial no limite de escoamento. Em termos práticos usa-se uma tensão equivalente
que compara o estado triaxial com o caso uniaxial. -
Fórmula (para tensões principais
):
Aqui cada termo
é uma tensão principal em MPa; o resultado
tem unidades de MPa e representa a “tensão equivalente von Mises”.
Agora aplicamos com os valores:
Quadrados:
Soma:
Multiplicando por
:
Raiz quadrada:
Passo 4
Calcular o fator de segurança pelo critério de von Mises.
- Regra prática: fator de segurança
é a razão entre a resistência do material ( ) e a tensão equivalente que produz escoamento. Assim:
Substituindo:
Explicação curta: isso significa que o estado atual (com
e
) está distante do escoamento segundo von Mises por um fator cerca de
— ou seja, poderia aumentar as tensões por esse fator antes de atingir o limite de escoamento segundo esse critério.
Passo 5
Teoria da tensão de cisalhamento máxima (Tresca): explicação e cálculo.
- Ideia intuitiva: Tresca afirma que o escoamento ocorre quando a maior tensão de cisalhamento em algum ponto atinge o valor de cisalhamento que ocorre no ensaio de tração uniaxial no escoamento. Para um estado definido pelas tensões principais, a máxima tensão de cisalhamento é:
onde
é a maior e
a menor tensão principal.
- No ensaio uniaxial, o cisalhamento que provoca escoamento é
. Assim o critério de Tresca diz que há escoamento quando . Para fator de segurança:
Aplicando os números:
Passo 6
Pequeno comentário comparativo (útil na prova): para este estado de tensões temos
-
, -
.
Normalmente o critério de Tresca é mais conservador (dá fator de segurança menor) do que von Mises; aqui confirma-se isso. Boa notícia: ambos os fatores são significativamente maiores que 1, então o estado atual está bem abaixo do escoamento segundo ambos os critérios.
Vai dar certo na prova — você pegou um exemplo simples, os passos são diretos: achar tensões principais, calcular
e
, e dividir o limite pela tensão equivalente. Confia que você consegue repetir isso na hora!