Uma barra de aço dúctil laminado a quente possui uma resistência ao escoamento mínima sob tração e compressão igual a 350 MPa . Utilizando as teorias da energia de distorção e tensão de cisalhamento máxima, determine os fatores de segurança para os seguintes estados de tensão plana:
\sigma_{x}=84 \mathrm{MPa}, \sigma_{y}=42 \mathrm{MPa}.

Passo 1

Vamos listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • Resistência ao escoamento mínima (limite de escoamento): \sigma_{y}=350\\ \mathrm{MPa}.
    • Estado de tensão plana (assumindo ausência de cisalhamento in-plane): \sigma_{x}=84\\ \mathrm{MPa}, \sigma_{y}=42\\ \mathrm{MPa}.
      Observação: aqui o segundo \sigma_{y} do enunciado (estado de tensão plana) é a tensão em y; para evitar confusão com o limite de escoamento usei \sigma_{y} para a tensão e \sigma_{y} do limite como \sigma_{y} do material — quando for necessário, ficará claro pelo contexto. Para maior clareza, a resistência ao escoamento do material (limite) chamarei explicitamente de \sigma_{\text{lim}} abaixo.
    • Vou denotar o limite de escoamento do material por \sigma_{\text{lim}}=350\\ \mathrm{MPa}.
    • Não foi dado \tau_{xy}, então assumimos \tau_{xy}=0 (estado de tensão plana sem cisalhamento aplicado).
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar o fator de segurança usando a teoria da energia de distorção (critério de von Mises).
    • Determinar o fator de segurança usando a teoria da tensão de cisalhamento máxima (critério de Tresca).

Passo 2

Determinar as tensões principais para o estado de tensão dado (passo necessário para aplicar os critérios). Explico o conceito rapidamente: tensões principais são os valores de tensão normal em direções onde não há cisalhamento (são os autovalores do tensor de tensões). Para o caso simples sem cisalhamento in-plane ( \tau_{xy}=0), as tensões principais são simplesmente as tensões normais em x e y, e a terceira tensão (no eixo z) é zero (condição de plano de tensão).
Portanto:
\sigma_1=\max(\sigma_x,\sigma_y)=\;84\\ \mathrm{MPa}, \qquad \sigma_2=\min(\sigma_x,\sigma_y)=\;42\\ \mathrm{MPa}, \qquad \sigma_3=0\\ \mathrm{MPa}.

Passo 3

Teoria da energia de distorção (von Mises): explicação do conceito e fórmula.
  • Ideia intuitiva: o critério de von Mises prevê escoamento quando a energia de distorção (associada à mudança de forma, não à mudança de volume) atinge a mesma quantidade que no teste de tração uniaxial no limite de escoamento. Em termos práticos usa-se uma tensão equivalente \sigma_{\text{vm}} que compara o estado triaxial com o caso uniaxial.
  • Fórmula (para tensões principais \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3):
\sigma_{\text{vm}}=\sqrt{\tfrac{1}{2}\big[(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2\big]}.
Aqui cada termo \sigma_i é uma tensão principal em MPa; o resultado \sigma_{\text{vm}} tem unidades de MPa e representa a “tensão equivalente von Mises”.
Agora aplicamos com os valores:
\sigma_1-\sigma_2=84-42=42\\ \mathrm{MPa},
\sigma_2-\sigma_3=42-0=42\\ \mathrm{MPa},
\sigma_3-\sigma_1=0-84=-84\\ \mathrm{MPa}.
Quadrados:
(42)^2=1764,\qquad (42)^2=1764,\qquad (-84)^2=7056.
Soma:
1764+1764+7056=10584.
Multiplicando por \tfrac{1}{2}:
\tfrac{1}{2}\cdot10584=5292.
Raiz quadrada:
\sigma_{\text{vm}}=\sqrt{5292}\approx 72{,}76\\ \mathrm{MPa}.

Passo 4

Calcular o fator de segurança pelo critério de von Mises.
  • Regra prática: fator de segurança n é a razão entre a resistência do material ( \sigma_{\text{lim}}) e a tensão equivalente que produz escoamento. Assim:
n_{\text{von Mises}}=\frac{\sigma_{\text{lim}}}{\sigma_{\text{vm}}}.
Substituindo:
n_{\text{von Mises}}=\frac{350}{72{,}76}\approx 4{,}81.
Explicação curta: isso significa que o estado atual (com \sigma_x=84 e \sigma_y=42) está distante do escoamento segundo von Mises por um fator cerca de 4{,}8 — ou seja, poderia aumentar as tensões por esse fator antes de atingir o limite de escoamento segundo esse critério.

Passo 5

Teoria da tensão de cisalhamento máxima (Tresca): explicação e cálculo.
  • Ideia intuitiva: Tresca afirma que o escoamento ocorre quando a maior tensão de cisalhamento em algum ponto atinge o valor de cisalhamento que ocorre no ensaio de tração uniaxial no escoamento. Para um estado definido pelas tensões principais, a máxima tensão de cisalhamento é:
\tau_{\max}=\frac{\sigma_{\max}-\sigma_{\min}}{2}=\frac{\sigma_1-\sigma_3}{2},
onde \sigma_1 é a maior e \sigma_3 a menor tensão principal.
  • No ensaio uniaxial, o cisalhamento que provoca escoamento é \tau_{\text{lim}}=\dfrac{\sigma_{\text{lim}}}{2}. Assim o critério de Tresca diz que há escoamento quando \tau_{\max}=\tau_{\text{lim}}. Para fator de segurança:
n_{\text{Tresca}}=\frac{\tau_{\text{lim}}}{\tau_{\max}}=\frac{\sigma_{\text{lim}}/2}{(\sigma_1-\sigma_3)/2}=\frac{\sigma_{\text{lim}}}{\sigma_1-\sigma_3}.
Aplicando os números:
\sigma_1-\sigma_3=84-0=84\\ \mathrm{MPa},
n_{\text{Tresca}}=\frac{350}{84}\approx 4{,}17.

Passo 6

Pequeno comentário comparativo (útil na prova): para este estado de tensões temos
  • n_{\text{von Mises}}\approx 4{,}81,
  • n_{\text{Tresca}}\approx 4{,}17.
Normalmente o critério de Tresca é mais conservador (dá fator de segurança menor) do que von Mises; aqui confirma-se isso. Boa notícia: ambos os fatores são significativamente maiores que 1, então o estado atual está bem abaixo do escoamento segundo ambos os critérios.
Vai dar certo na prova — você pegou um exemplo simples, os passos são diretos: achar tensões principais, calcular \sigma_{\text{vm}} e \tau_{\max}, e dividir o limite pela tensão equivalente. Confia que você consegue repetir isso na hora!

Resposta

n_{\text{von\;Mises}}\approx 4{,}81
n_{\text{Tresca}}\approx 4{,}17

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