Uma barra de aço de 0,8 \mathrm{~m} de comprimento e 20 mm de diâmetro é tracionada pela ação de uma carga axial de 10 kN . Considere \mathrm{E}_{\text {aço }}=210 \times 10^{9} \mathrm{~Pa}ç e v_{\text {aço }}=0,3ç. Determinar para a barra:
a) A tensão normal atuante \boldsymbol{\sigma};
b) O alongamento longitudinal \Delta \mathrm{L}.
c) A deformação longitudinal \varepsilon_{a}.
d) A deformação transversal \varepsilon_{t}.
Resposta: a) \sigma=31,8 \mathrm{MPa}, b) \Delta \mathrm{L}=0,00012 \mathrm{~m}, c) \varepsilon_{\mathrm{a}}=0,00015, d) \varepsilon_{\mathrm{t}}=-0,000045

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Perguntas do problema:
    1. Calcular a tensão normal \sigma.
    2. Calcular o alongamento longitudinal \Delta L.
    3. Calcular a deformação longitudinal \varepsilon_{a}.
    4. Calcular a deformação transversal \varepsilon_{t}.
  • Dados fornecidos:
    • Comprimento inicial da barra: L=0,8\\ \mathrm{m}.
    • Diâmetro da barra: d=20\\ \mathrm{mm}.
    • Carga axial tracionante: F=10\\ \mathrm{kN}.
    • Módulo de Young do aço: E_{\text{aço}}=210\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}ç.
    • Coeficiente de Poisson do aço: \nu_{\text{aço}}=0,3ç.
Observações sobre unidades (peguei estes valores do enunciado): o diâmetro está em milímetros e a carga em quilonewtons, então vou converter para o Sistema Internacional antes de calcular.

Passo 2

Converter unidades e calcular a área da seção transversal.
  • Converter o diâmetro para metros: d=20\\ \mathrm{mm}=0,02\\ \mathrm{m}.
  • Raio: r=\frac{d}{2}=0,01\\ \mathrm{m}.
  • Área da seção circular (fórmula): A=\pi r^{2}.
  • Calcular numericamente: A=\pi(0,01)^{2}=\pi\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}} \approx 3,1416\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}.
Explicação rápida: a área de um círculo é \pi r^{2}. Foi necessário transformar milímetros em metros para que a área fique em \mathrm{m^{2}} e as demais fórmulas fiquem coerentes com os valores de E (em Pa = N/m ^2).

Passo 3

Calcular a tensão normal \sigma usando \sigma=\dfrac{F}{A}.
  • Converter a força para newtons: F=10\\ \mathrm{kN}=10\times10^{3}\\ \mathrm{N}=10{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{N}.
  • Aplicar a fórmula: \sigma=\frac{F}{A}=\frac{10{,}0\times10^{3}}{3{,}1416\times10^{-4}}\\ \mathrm{Pa}.
  • Efetuando a divisão: \sigma\approx 31{,}8309886\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}=31{,}8309886\\ \mathrm{MPa}.
Interpretação: \sigma é a tensão média normal (força por área) na seção da barra; indica quantas newtons atuam por metro quadrado. Arredondando consistentemente, obtemos \sigma\approx31{,}8\\ \mathrm{MPa}.

Passo 4

Relação tensão-deformação (Lei de Hooke) e cálculo da deformação longitudinal \varepsilon_{a}.
  • Lei de Hooke (regime elástico linear): a tensão e a deformação longitudinal estão relacionadas por \sigma = E\,\varepsilon_{a},onde \sigma é a tensão normal (Pa), E é o módulo de Young (Pa) e \varepsilon_{a} é a deformação adimensional (razão sem unidade).
  • Isolando \varepsilon_{a}: \varepsilon_{a}=\frac{\sigma}{E}.
  • Substituindo os valores (usei \sigma do passo anterior e E dado): \varepsilon_{a}=\frac{31{,}8309886\times10^{6}}{210\times10^{9}}.
  • Efetuando a divisão: \varepsilon_{a}\approx 1{,}5158\times10^{-4}=0{,}00015158\\ .
Comentário didático: \varepsilon_{a} é adimensional e representa o alongamento relativo (Delta L dividido por L). Em materiais lineares e dentro do limite elástico, podemos usar \varepsilon=\sigma/E.

Passo 5

Calcular o alongamento longitudinal \Delta L a partir de \varepsilon_{a}.
  • Relação: \Delta L=\varepsilon_{a}\,L.
  • Substituindo: \Delta L=1{,}5158\times10^{-4}\times0{,}8\\ \mathrm{m}.
  • Resultado numérico: \Delta L\approx 1{,}2126\times10^{-4}\\ \mathrm{m}=0{,}00012126\\ \mathrm{m}.
Explicação prática: \Delta L é quanto a barra alonga em metros; multiplica-se a deformação (fração) pelo comprimento inicial.

Passo 6

Calcular a deformação transversal \varepsilon_{t} usando o coeficiente de Poisson.
  • Definição prática de Poisson: a deformação transversal é relacionada à deformação longitudinal por \varepsilon_{t}=-\nu\,\varepsilon_{a},onde \nu é o coeficiente de Poisson (adimensional). O sinal negativo indica que, numa tração, a barra se alonga longitudinalmente ( \varepsilon_{a}>0) e se contraí lateralmente ( \varepsilon_{t}<0).
  • Substituindo os valores: \varepsilon_{t}=-0{,}3\times 1{,}5158\times10^{-4}.
  • Resultado numérico: \varepsilon_{t}\approx -4{,}5474\times10^{-5}=-0{,}000045474.
Arredondando conforme o enunciado, obtemos \varepsilon_{t}\approx -0{,}000045.

Resposta

\sigma=31{,}8\\ \mathrm{MPa}
\Delta L=0{,}00012\\ \mathrm{m}
\varepsilon_{a}=0{,}00015
\varepsilon_{t}=-0{,}000045

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