Um freio de tambor com sapatas externas girando no sentido horário tem diâmetro interno de 300 mm , onde as sapatas são acionadas por mecanismos distintos/diferente. Determine: a- as forças nas sapatas; b- as pressões nas sapatas; c- o torque de atrito; Dados: O momento na sapata da direita \mathrm{Mf}=330 \mathrm{Nm} e \mathrm{Mn}=550 \mathrm{~N} . \mathrm{m}. O material é moldado, \mathrm{a}=123 \mathrm{~mm}, \mathrm{C}=212 \mathrm{~mm}, largura das sapatas de 30 mm . Ângulo da sapata de \theta=120^{0}.
OBS: O coeficiente de atrito deverá satisfazer o momento
A pressão de operação deve ser a menor possível, e devem estar dentro da faixa.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que segue eu peguei do enunciado).
Dados fornecidos:
  • diâmetro interno do tambor: \,D=300\\ \text{mm}.
  • momento (momento de frenagem) na sapata direita: \,M_f=330\\ \text{N}\cdot\text{m}.
  • outro momento fornecido (na outra sapata): \,M_n=550\\ \text{N}\cdot\text{m}.
  • geometria da sapata: \,a=123\\ \text{mm} (valor fornecido, não será necessário explicitamente se tratarmos o contato sobre o raio), \,C=212\\ \text{mm} (fornecido), largura da sapata \,b=30\\ \text{mm}.
  • ângulo de contato da sapata: \,\theta=120^\circ.
  • o material é “moldado” (isto indica que a pressão de contato pode ser tratada como praticamente uniforme sobre a área de contato).
    O enunciado pede:
    a) as forças normais (nas sapatas);
    b) as pressões nas sapatas (pressão média de operação);
    c) o torque total de atrito.
Observação do enunciado: o coeficiente de atrito deve satisfazer o momento e a pressão de operação deve ser a menor possível e estar dentro da faixa. O enunciado não deu um valor numérico do coeficiente de atrito nem um limite numérico de pressão admissível, portanto vou:
  • derivar as fórmulas gerais (dependendo de \mu);
  • calcular valores numéricos típicos mostrando o efeito de \mu;
  • para a resposta final escolherei um valor de projeto \mu=0,40 (um valor realista para fricção de forros moldados) porque aumenta o atrito disponível e assim reduz a pressão necessária (isto satisfaz a exigência “pressão de operação menor possível” dentro de valores práticos).

Passo 2

Assunções e método escolhido (explicação didática e motivo):
  • Como o forro é “moldado”, assumimos pressão de contato uniforme sobre a área de contato da sapata. Isso simplifica a análise e é a hipótese usual nesses exercícios.
  • Interpretação das grandezas \,M_f e \,M_n: tratamos esses valores como os momentos de atrito (torques de frenagem) atribuíveis, respectivamente, à sapata direita e à sapata esquerda. Logo o torque total de frenagem será \,M_{\rm total}=M_f+M_n.
  • Modelo básico (fórmula que vamos usar): para pressão uniforme p sobre a área de contato de uma sapata, a força normal total sobre a sapata é N=p\cdot A. A força de atrito tangencial (resultante) é \mu N. O torque gerado por essa sapata em relação ao eixo do tambor (raio r) é \,T=\mu N r. Vou demonstrar isso com contas e depois substituir os números.
    Motivo de escolher esse método: é o método mais simples e adequado para forros moldados e para cálculos rápidos de projeto em prova.

Passo 3

Geometria do contato — conversão de dados e área de contato:
  • raio interno do tambor: \,r=\dfrac{D}{2}=\dfrac{300\\ \text{mm}}{2}=150\\ \text{mm}=0,15\\ \text{m}.
  • ângulo de contato em radianos:
\theta_{\rm rad}=\theta^\circ\cdot\frac{\pi}{180} = 120^\circ\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{2\pi}{3}\\ \text{rad}\approx 2{,}0943951\\ \text{rad}.
  • comprimento de contato (arco): \,s=r\theta_{\rm rad}=0,15\cdot\frac{2\pi}{3}=0,3141593\\ \text{m}.
  • área de contato da sapata (largura b=30\\ \text{mm}=0,03\\ \text{m}):
A = s\cdot b = 0,3141593\cdot 0,03 = 0,00942478\\ \text{m}^2.
(Guarde este A; é a área sobre a qual aplicamos a pressão média p.)

Passo 4

Relação pressão, força normal e torque — dedução e fórmulas úteis (aula rápida):
  • definição: a pressão média p (uniforme) é a força normal total dividida pela área:
N = p\cdot A.
  • força de atrito resultante (tangencial) da sapata: \,F_t=\mu N=\mu p A.
  • momento/torque de atrito gerado por essa sapata (supondo que todo o contato esteja à distância média igual a r do eixo, o que vale para superfície cilíndrica): cada pequena área dA produz \mu p\,dA de força tangencial e momento \mu p\,dA \cdot r. Integrando sobre a área total dá:
T_{\text{sapata}}=\mu p \,r\int dA = \mu p\, r A.
Usando N=pA obtemos a forma simples e muito usada:
T_{\text{sapata}}=\mu N r.
Isto é intuitivo: torque = coeficiente de atrito × força normal × raio efetivo.

Passo 5

Isolando N e p em função do torque conhecido T (aqui T é o momento de atrito conhecido, por exemplo M_f ou M_n):
  • de \,T=\mu N r temos
N=\dfrac{T}{\mu r}.
  • usando p=N/A,
p=\dfrac{N}{A}=\dfrac{T}{\mu r A}.
Estas duas fórmulas permitem calcular diretamente a força normal e a pressão média na sapata quando se conhece o torque de atrito gerado por essa sapata, o raio r, a área A e o coeficiente \mu.

Passo 6

Aplicando numericamente com os dados: primeiro escrevo os valores numéricos que vamos usar (já calculados):
r=0,15\\ \text{m},\qquad A=0,00942478\\ \text{m}^2,\qquad \theta_{\rm rad}=\frac{2\pi}{3}.
Os torques das sapatas são:
M_f=330\\ \text{N}\cdot\text{m}\quad(\text{sapat a direita}),\qquad M_n=550\\ \text{N}\cdot\text{m}\quad(\text{sapat a esquerda}).
Agora calculo N e p em função de \mu. Como o enunciado pede pressão a menor possível e sem faixa numérica, vou apresentar resultados para um valor de projeto realista e defensável: \mu=0{,}40. (Logo em seguida mostro também o efeito de outro valor típico \mu=0{,}35 para comparação.)
Fórmulas usadas (repetindo):
N=\dfrac{T}{\mu r},\qquad p=\dfrac{T}{\mu r A}.
Cálculo passo a passo para \mu=0{,}40 ( \mu r = 0{,}40\cdot0{,}15=0{,}06):
  • sapata direita ( T=M_f=330\\ \text{N}\cdot\text{m}):
N_f=\dfrac{330}{0{,}06}=5500\\ \text{N}.
p_f=\dfrac{330}{0{,}06\cdot 0{,}00942478}=\dfrac{330}{0{,}0005654868}\approx 583333\\ \text{Pa}=0{,}583\\ \text{MPa}.
  • sapata esquerda ( T=M_n=550\\ \text{N}\cdot\text{m}):
N_n=\dfrac{550}{0{,}06}=9166{,}6667\\ \text{N}\approx 9167\\ \text{N}.
p_n=\dfrac{550}{0{,}06\cdot 0{,}00942478}=\dfrac{550}{0{,}0005654868}\approx 973214\\ \text{Pa}=0{,}973\\ \text{MPa}.
Verificação do torque total:
M_{\rm total}=M_f+M_n=330+550=880\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Também poderia-se obter M_{\rm total} por \mu r (N_f+N_n); com os N calculados isso confere (é uma identidade da formulação).

Passo 7

Comparação com outro \mu típico e comentário sobre escolha:
  • para \mu=0{,}35 (menor atrito) tem-se \mu r=0{,}0525:
    • N_f=\dfrac{330}{0{,}0525}=6285{,}714\\ \text{N}, p_f\approx 0{,}668\\ \text{MPa}.
    • N_n=\dfrac{550}{0{,}0525}=10476{,}19\\ \text{N}, p_n\approx 1{,}113\\ \text{MPa}.
  • Observação: para reduzir a pressão de operação convém aumentar \mu (melhor material de forro, melhores condições), porque p\propto 1/\mu. Com \mu=0{,}40 as pressões calculadas são menores que com \mu=0{,}35.
  • Faixa prática: forros moldados costumam ter \mu entre cerca de 0{,}30 e 0{,}50 dependendo do par de materiais e condição (aqui escolhi \mu=0{,}40 como compromisso para manter pressões médias ventiladas abaixo de \sim 1{,}0\\ \text{MPa}).

Passo 8

Resumo numérico final (valores arredondados razoavelmente para uso em prova e projeto):
  • raio: \,r=0{,}15\\ \text{m}.
  • área de contato: \,A=0{,}00942478\\ \text{m}^2.
  • com \,\mu=0{,}40:
    • força normal na sapata direita: \,N_f=5500\\ \text{N} (ou 5{,}50\\ \text{kN});
    • pressão média na sapata direita: \,p_f\approx 0{,}583\\ \text{MPa};
    • força normal na sapata esquerda: \,N_n\approx 9167\\ \text{N} (ou 9{,}17\\ \text{kN});
    • pressão média na sapata esquerda: \,p_n\approx 0{,}973\\ \text{MPa}.
  • torque total de atrito: \,M_{\rm total}=M_f+M_n=880\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Comentário final (prático e motivador): se essas pressões estiverem fora da faixa admissível do forro, a solução prática é aumentar o coeficiente de atrito (mudar material/condição) ou redesenhar para maior área ou maior raio. Com \mu maior a pressão necessária cai proporcionalmente.

Resposta

N_f=5500\\ \text{N}
p_f\approx 0{,}583\\ \text{MPa}
N_n\approx 9167\\ \text{N}
p_n\approx 0{,}973\\ \text{MPa}
M_{\rm total}=880\\ \text{N}\cdot\text{m}

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