Uma barra de aço é utilizada para suportar uma carga estática em uma estrutura. A barra possui uma seção transversal circular com um diâmetro de \mathrm{d}=20 \mathrm{~mm}. Essa barra está submetida a uma força de tração axial de \mathrm{F}=50 \mathrm{kN}, aplicada uniformemente ao longo de seu comprimento. Considere que o material da barra é homogêneo e que a seção transversal permanece constante. Calcule a tensão normal desenvolvida na barra devido à força de tração.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a tensão normal (tensão axial) desenvolvida numa barra circular submetida a uma força de tração axial. Dados fornecidos:
  • Diâmetro da seção transversal: d=20\\ \mathrm{mm}.
  • Força axial (tração): F=50\\ \mathrm{kN}.
O que é pedido: encontrar a tensão normal média \sigma na barra devido à força de tração.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e direta).
  • Tensão normal média em uma barra sujeita a força axial é definida por:
\sigma=\frac{F}{A},
onde:
  • \sigma é a tensão normal média (unidade: \mathrm{N/mm^2} ou \mathrm{Pa}),
  • F é a força axial aplicada (unidade: \mathrm{N}),
  • A é a área da seção transversal (unidade: \mathrm{mm^2} ou \mathrm{m^2}).
Por que essa fórmula? Porque tensão é força por unidade de área: é a intensidade da força distribuída sobre a área da seção. Para uma barra de seção constante e carregamento axial uniforme, a tensão média em toda a seção vale F/A.
Observação prática de unidades: se usarmos F em \mathrm{N} e A em \mathrm{mm^2}, a tensão ficará em \mathrm{N/mm^2}, e 1\\ \mathrm{N/mm^2}=1\\ \mathrm{MPa} — isso facilita porque resultados em \mathrm{MPa} são comuns em materiais.

Passo 3

Calcular a área da seção transversal circular.
  • Fórmula da área de um círculo:
A=\frac{\pi d^{2}}{4}.
  • Substituindo d=20\\ \mathrm{mm}:
A=\frac{\pi (20\\ \mathrm{mm})^{2}}{4}=\frac{\pi \cdot 400\\ \mathrm{mm^{2}}}{4}=\pi\cdot100\\ \mathrm{mm^{2}}.
  • Valor numérico:
A=100\pi\\ \mathrm{mm^{2}}\approx 314{,}159\\ \mathrm{mm^{2}}.

Passo 4

Colocar a força na mesma escala e calcular a tensão.
  • Converter a força F=50\\ \mathrm{kN} para \mathrm{N} ou diretamente usar \mathrm{kN} com \mathrm{mm^2} não é conveniente; então:
F=50\\ \mathrm{kN}=50\,000\\ \mathrm{N}.
  • Aplicando \sigma=\dfrac{F}{A} com A em \mathrm{mm^{2}}:
\sigma=\frac{50\,000\\ \mathrm{N}}{100\pi\\ \mathrm{mm^{2}}}=\frac{50\,000}{100\pi}\\ \mathrm{N/mm^{2}}=\frac{500}{\pi}\\ \mathrm{N/mm^{2}}.
  • Valor numérico:
\sigma\approx \frac{500}{3{,}14159265}\\ \mathrm{N/mm^{2}}\approx159{,}1549\\ \mathrm{N/mm^{2}}.
  • Como 1\\ \mathrm{N/mm^{2}}=1\\ \mathrm{MPa}, podemos escrever:
\sigma\approx159{,}15\\ \mathrm{MPa}.

Passo 5

Interpretação curta e incentivo:
  • A tensão média na barra é \approx159{,}15\\ \mathrm{MPa}.
  • Isso é um valor razoável para aço estrutural (muitos aços têm limites de escoamento na faixa de algumas centenas de MPa), então vale conferir o tipo de aço e segurança na prova real, mas para a questão o cálculo foi esse — bem feito, tá indo bem!

Resposta

\sigma\approx159{,}15\\ \mathrm{MPa}

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