Uma barra de 3 cm de diâmetro e 50 cm de comprimento untada com óleo lubrificante de viscosidade cinemática 5 \times 10^{-4} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} (óleo SAE-30 à temperatura ambiente de 20^{\circ} \mathrm{C} ) é introduzida num tubo horizontal de diâmetro interno de 3,1 \mathrm{~cm} e empurrada com velocidade constante de 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determinar a força de cisalhamento que deve ser exercida. Dados: { }^{\gamma} óleo =9000 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{3} ; \mathrm{g}=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • diâmetro da barra: d=3{,}0\\ \text{cm}=0{,}03\\ \text{m}.
    • diâmetro interno do tubo: D=3{,}1\\ \text{cm}=0{,}031\\ \text{m}.
    • comprimento imerso da barra: L=50\\ \text{cm}=0{,}50\\ \text{m}.
    • velocidade de deslocamento relativo entre barra e tubo: U=1\\ \text{m}/\text{s}.
    • viscosidade cinemática do óleo: \nu=5\times 10^{-4}\\ \text{m}^2/\text{s}.
    • peso específico do óleo: \gamma_{\text{óleo}}=9000\\ \text{N}/\text{m}^3ó.
    • aceleração da gravidade: g=9{,}8\\ \text{m}/\text{s}^2.
  • O que se pede:
    • Determinar a força de cisalhamento que deve ser exercida para empurrar a barra com velocidade constante U (ou seja, a força resistente devido à viscosidade do filme de óleo no espaço entre barra e tubo).

Passo 2

Converter o peso específico em densidade e depois obter a viscosidade dinâmica.
  • A relação entre peso específico \gamma e densidade \rho é
\rho=\frac{\gamma}{g},
onde \rho tem unidade \text{kg}/\text{m}^3.
  • Substituindo os valores:
\rho=\frac{9000}{9{,}8}\\ \text{kg}/\text{m}^3.
  • Calcule (de forma direta):
\rho \approx 918{,}3673469\\ \text{kg}/\text{m}^3.
  • A viscosidade dinâmica \mu relaciona-se com a viscosidade cinemática \nu por
\mu=\rho\,\nu,
onde \mu tem unidade \text{Pa}\cdot\text{s}.
  • Logo:
\mu = 918{,}3673469 \times 5\times 10^{-4}\\ \text{Pa}\cdot\text{s}
\mu \approx 0{,}4591836735\\ \text{Pa}\cdot\text{s}.

Passo 3

Determinar a espessura do filme de óleo (o “gap”) e verificar que ele é fino.
  • A folga radial total entre tubo e barra é D-d. A folga radial de cada lado (metade) é
h=\frac{D-d}{2}.
  • Substituindo:
h=\frac{0{,}031-0{,}03}{2}=0{,}0005\\ \text{m}=0{,}5\\ \text{mm}.
  • Observação didática: como h é muito menor que o raio da barra, podemos usar a aproximação de camada delgada (lubrificação), em que o gradiente de velocidade radial é aproximadamente U/h. Em outras palavras, o perfil de velocidade no gap entre as superfícies é quase linear (Couette simples) quando o espaço é pequeno e não há gradiente de pressão dominante.

Passo 4

Formulação do cisalhamento e do método para obter a força viscosa.
  • Para um fluido newtoniano, a tensão de cisalhamento (na superfície da barra) é dada por a lei de Newton do atrito viscoso:
\tau=\mu\frac{\partial u}{\partial y},
onde
  • \tau é a tensão de cisalhamento (em \text{Pa}),
  • \mu é a viscosidade dinâmica ( \text{Pa}\cdot\text{s}),
  • \partial u/\partial y é o gradiente de velocidade perpendicular à superfície (em \text{s}^{-1}).
  • Com a aproximação de camada fina e perfil praticamente linear, aproxima-se
\frac{\partial u}{\partial y}\approx\frac{U}{h}.
  • Portanto a tensão de cisalhamento na superfície da barra é aproximada por
\tau\approx\mu\frac{U}{h}.
  • A força total de cisalhamento sobre a barra é a tensão multiplicada pela área lateral da barra em contato com o fluido:
F=\tau\cdot A_{\text{lat}},\qquad A_{\text{lat}}=\pi d L.

Passo 5

Calcular numericamente a tensão de cisalhamento \tau.
  • Substituindo os valores:
\tau\approx \mu\frac{U}{h} = 0{,}4591836735\cdot\frac{1}{0{,}0005}\\ \text{Pa}.
  • Calcule:
\frac{1}{0{,}0005}=2000\\ \text{s}^{-1},
portanto
\tau\approx 0{,}4591836735\times 2000 \approx 918{,}3673469\\ \text{Pa}.
  • Interpretação: essa é a tensão que age tangencialmente na superfície da barra devido ao escoamento viscoso no filme.

Passo 6

Calcular a área lateral da barra e a força total F.
  • Área lateral da barra:
A_{\text{lat}}=\pi d L = \pi\times 0{,}03\times 0{,}50.
  • Calcule:
A_{\text{lat}}=\pi\times 0{,}015 \approx 0{,}0471238898\\ \text{m}^2.
  • Força de cisalhamento:
F=\tau\,A_{\text{lat}} \approx 918{,}3673469 \times 0{,}0471238898\\ \text{N}.
  • Calcule numericamente:
F \approx 43{,}28\\ \text{N}.

Passo 7

Verificação rápida da hipótese de fluxo laminar (apenas para justificar a aproximação).
  • Um número de Reynolds característico para o filme é
\mathrm{Re}=\frac{U\,h}{\nu}.
  • Substituindo:
\mathrm{Re}=\frac{1\times 0{,}0005}{5\times 10^{-4}}=1.
  • Como \mathrm{Re} é da ordem de 1, o escoamento no filme é laminar, o que valida a aproximação de perfil linear e a expressão usada para \tau.

Resposta

F\approx 43{,}3\\ \mathrm{N}

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