Uma barra de 3 cm de diâmetro e 50 cm de comprimento untada com óleo lubrificante de viscosidade cinemática
(óleo SAE-30 à temperatura ambiente de
) é introduzida num tubo horizontal de diâmetro interno de
e empurrada com velocidade constante de
. Determinar a força de cisalhamento que deve ser exercida. Dados:
óleo
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- diâmetro da barra:
. - diâmetro interno do tubo:
. - comprimento imerso da barra:
. - velocidade de deslocamento relativo entre barra e tubo:
. - viscosidade cinemática do óleo:
. - peso específico do óleo:
. - aceleração da gravidade:
.
- diâmetro da barra:
-
O que se pede:
- Determinar a força de cisalhamento que deve ser exercida para empurrar a barra com velocidade constante
(ou seja, a força resistente devido à viscosidade do filme de óleo no espaço entre barra e tubo).
- Determinar a força de cisalhamento que deve ser exercida para empurrar a barra com velocidade constante
Passo 2
Converter o peso específico em densidade e depois obter a viscosidade dinâmica.
- A relação entre peso específico
e densidade é
onde
tem unidade
.
- Substituindo os valores:
- Calcule (de forma direta):
- A viscosidade dinâmica
relaciona-se com a viscosidade cinemática por
onde
tem unidade
.
- Logo:
Passo 3
Determinar a espessura do filme de óleo (o “gap”) e verificar que ele é fino.
- A folga radial total entre tubo e barra é
. A folga radial de cada lado (metade) é
- Substituindo:
- Observação didática: como
é muito menor que o raio da barra, podemos usar a aproximação de camada delgada (lubrificação), em que o gradiente de velocidade radial é aproximadamente . Em outras palavras, o perfil de velocidade no gap entre as superfícies é quase linear (Couette simples) quando o espaço é pequeno e não há gradiente de pressão dominante.
Passo 4
Formulação do cisalhamento e do método para obter a força viscosa.
- Para um fluido newtoniano, a tensão de cisalhamento (na superfície da barra) é dada por a lei de Newton do atrito viscoso:
onde
-
é a tensão de cisalhamento (em ), -
é a viscosidade dinâmica ( ), -
é o gradiente de velocidade perpendicular à superfície (em ). -
Com a aproximação de camada fina e perfil praticamente linear, aproxima-se
- Portanto a tensão de cisalhamento na superfície da barra é aproximada por
- A força total de cisalhamento sobre a barra é a tensão multiplicada pela área lateral da barra em contato com o fluido:
Passo 5
Calcular numericamente a tensão de cisalhamento
.
- Substituindo os valores:
- Calcule:
portanto
- Interpretação: essa é a tensão que age tangencialmente na superfície da barra devido ao escoamento viscoso no filme.
Passo 6
Calcular a área lateral da barra e a força total
.
- Área lateral da barra:
- Calcule:
- Força de cisalhamento:
- Calcule numericamente:
Passo 7
Verificação rápida da hipótese de fluxo laminar (apenas para justificar a aproximação).
- Um número de Reynolds característico para o filme é
- Substituindo:
- Como
é da ordem de , o escoamento no filme é laminar, o que valida a aproximação de perfil linear e a expressão usada para .