Uma barra de cobre de 0.025 cm de diametro deve ser trabalhada a frio a 63 \% Encontre o diametro final da barra.

Passo 1

O enunciado dá uma barra de cobre com diâmetro inicial \,d_0=0{,}025\\ \text{cm} e diz que ela foi trabalhada a frio com redução de 63\%. A pergunta é: qual é o diâmetro final \,d_f da barra depois desse trabalho?
Informações relevantes dadas:
\,d_0=0{,}025\\ \text{cm} e redução percentual =63\%.

Passo 2

Entendendo o que significa "redução de 63\%": normalmente, em conformação a frio, essa porcentagem refere-se à redução da área de seção transversal. Vamos escrever isso em fórmula. Se A_0 é a área inicial e A_f a área final, a redução percentual é
\text{redução (\%)}=\frac{A_0-A_f}{A_0}\cdot 100\%.çã
Daí, se a redução é 63\%, temos
\frac{A_0-A_f}{A_0}=0{,}63\quad\Rightarrow\quad A_f=A_0(1-0{,}63)=0{,}37\,A_0.
Ou seja, a área final é 37\% da área inicial.

Passo 3

Agora usamos a fórmula da área da seção circular (a barra é cilíndrica):
A=\frac{\pi d^2}{4},
onde d é o diâmetro da seção. Aplicando para inicial e final:
A_0=\frac{\pi d_0^2}{4},\qquad A_f=\frac{\pi d_f^2}{4}.
Dividindo A_f por A_0 as constantes \pi/4 cancelam:
\frac{A_f}{A_0}=\frac{d_f^2}{d_0^2}.

Passo 4

Já vimos que \dfrac{A_f}{A_0}=0{,}37. Igualando:
\frac{d_f^2}{d_0^2}=0{,}37.
Tirando raiz dos dois lados (tomando a raiz positiva, pois diâmetro é positivo),
\frac{d_f}{d_0}=\sqrt{0{,}37}\quad\Rightarrow\quad d_f=d_0\sqrt{0{,}37}.

Passo 5

Agora substituímos o valor numérico de \,d_0. Primeiro avaliamos a raiz:
\sqrt{0{,}37}\approx 0{,}608276\ldots
Multiplicando por \,d_0=0{,}025\\ \text{cm}:
d_f\approx 0{,}025\cdot 0{,}608276\approx 0{,}0152069\\ \text{cm}.
Arredondando de forma conveniente (por exemplo 4 casas significativas):
d_f\approx 0{,}01521\\ \text{cm}.
Convertendo para milímetros ( 1\\ \text{cm}=10\\ \text{mm}):
d_f\approx 0{,}1521\\ \text{mm}.

Passo 6

Verificação rápida (sanity check): como a área foi reduzida para 37\%, o fator de diâmetros deve ser \sqrt{0{,}37}\approx 0{,}608. O diâmetro final é cerca de 60{,}8\% do inicial: 0{,}025\cdot 0{,}608\approx 0{,}0152\\ \text{cm}. Faz sentido físico e numérico.

Resposta

\,d_f\approx 0{,}01521\\ \text{cm}=0{,}1521\\ \text{mm}

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