(0,2) Quando uma barra de comprimento L está livre para se expandir, sujeita a um aumento de temperatura \Delta T, o deslocamento da extremidade é dado por \delta_{T}=\alpha L \Delta T. Se essa barra for impedida de se expandir, o que ocorre?
A) O deslocamento será o dobro do valor previsto pela fórmula devido à reação dos apoios.
B) O comprimento da barra se ajustará automaticamente sem gerar tensões internas.
C) A barra não sofre deslocamento nem tensão.
D) A barra desenvolverá tensões internas proporcionais a E \alpha \Delta T, caracterizando tensões térmicas.
E) As tensões térmicas serão nulas se o coeficiente de dilatação for constante.

Passo 1

O enunciado dá a fórmula do deslocamento quando a barra está livre para expandir:
\delta_{T}=\alpha L \Delta T,
onde \alpha é o coeficiente de dilatação linear, L é o comprimento inicial da barra e \Delta T é a variação de temperatura. Pergunta: se a barra for impedida de se expandir, qual das alternativas A–E é correta?
Informações relevantes fornecidas:
\alpha,\;L,\;\Delta T aparecem na fórmula dada.
A alternativa D menciona E (módulo de Young), que não foi dada explicitamente mas é a grandeza física que relaciona tensão e deformação elástica.
A barra está “impedida de se expandir” — isto significa que sua extremidade não pode deslocar-se livremente (condição de restrição completa).

Passo 2

Entendendo a expansão livre (recapitulando devagar e com calma).
Definição de deformação térmica (ou “strain” térmico): quando a temperatura da barra aumenta uniformemente em \Delta T, cada pequena porção da barra tende a alongar-se proporcionalmente à sua dimensão inicial. Esse alongamento relativo é a deformação térmica:
\varepsilon_{\text{th}} = \alpha \Delta T.
Aqui \varepsilon_{\text{th}} é adimensional (razão \Delta L / L), \alpha tem unidades de 1/\text{K} e \Delta T em \text{K}. Multiplicando \varepsilon_{\text{th}} por L obtemos o deslocamento total livre:
\delta_T = \varepsilon_{\text{th}} L = \alpha L \Delta T,
que é exatamente a fórmula do enunciado. Isso vale quando nada impede a barra de se expandir.

Passo 3

O que significa “impedida de se expandir” em termos de deformações?
Se a barra é rigidamente presa de modo que seu comprimento não pode mudar, o deslocamento macroscópico final é zero; isto é, a deformação total deve ser nula:
\varepsilon_{\text{total}} = 0.
Mas a deformação total resulta da soma de duas contribuições (princípio simples e importante):
\varepsilon_{\text{total}} = \varepsilon_{\text{mech}} + \varepsilon_{\text{th}},
onde \varepsilon_{\text{mech}} é a deformação mecânica causada por tensões internas (ou reações de apoio) e \varepsilon_{\text{th}} é a deformação térmica que a barra “desejaria” ter ( \alpha\Delta T). Como \varepsilon_{\text{total}}=0, então
\varepsilon_{\text{mech}} = -\varepsilon_{\text{th}} = -\alpha\Delta T.
Isto quer dizer: a restrição impõe uma deformação mecânica que cancela a térmica — a barra fica em compressão (se aquecer) ou tração (se esfriar).

Passo 4

Ligando deformação mecânica à tensão: Lei de Hooke linear (aula rápida).
Para materiais elásticos lineares e pequenas deformações existe a relação de Hooke uniaxial:
\sigma = E\,\varepsilon_{\text{mech}},
onde \sigma é a tensão normal (em Pa) e E é o módulo de Young (em Pa). Substituindo \varepsilon_{\text{mech}} = -\alpha\Delta T obtemos
\sigma = E(-\alpha\Delta T) = -E\alpha\Delta T.
O sinal negativo indica que, para um aquecimento ( \Delta T>0), a tensão é compressiva. O módulo (valor absoluto) da tensão é
|\sigma| = E\alpha\Delta T,
ou seja, a barra desenvolverá tensões internas proporcionais a E\alpha\Delta T.

Passo 5

Interpretação prática e confronto com as alternativas.
A conclusão matemática acima diz claramente que, se a barra é totalmente impedida de se expandir, ela não desloca mas desenvolve tensão interna igual a -E\alpha\Delta T (compressiva quando \Delta T>0). Portanto a alternativa correta é a que afirma que surgem tensões térmicas proporcionais a E\alpha\Delta T — isto é a alternativa D.
Breves comentários sobre por que as outras opções estão erradas:
  • A) “dobro do deslocamento” — sem sentido: se está impedida, o deslocamento real é zero; não há fator 2.
  • B) “ajustará automaticamente sem gerar tensões” — falso: a restrição impede a expansão e gera tensão.
  • C) “não sofre deslocamento nem tensão” — só a primeira parte (sem deslocamento) é verdadeira; a segunda é falsa, há tensão.
  • E) “tensões serão nulas se \alpha constante” — errado: \alpha constante apenas torna a expressão simples; tensões são nulas apenas se \Delta T=0 ou se a barra puder expandir livremente.

Passo 6

Um exemplo numérico rápido para fixar (bem literal, sem calculadora pesada).
Considere L=1\,\text{m}, \alpha=1{,}0\times10^{-5}\,\text{K}^{-1}, \Delta T=100\,\text{K} e E=2{,}0\times10^{11}\,\text{Pa} (aço típico). Então
|\sigma| = E\alpha\Delta T = 2{,}0\times10^{11}\cdot 1{,}0\times10^{-5}\cdot 100 = 2{,}0\times10^{8}\,\text{Pa} = 200\,\text{MPa}.
Ou seja, a barra suportaria uma tensão de 200 MPa — é grande, por isso em engenharia térmica essas tensões são importantes.

Passo 7

Resumo das hipóteses por trás da fórmula usada:
  • Temperatura uniforme ao longo da barra (sem gradientes).
  • Material elástico linear (Lei de Hooke válida).
  • Restrição completa do comprimento (barra não pode alongar).
  • Pequenas deformações (linnearização válida).

Resposta

D

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