Quando uma barra de comprimento
está livre para se expandir, sujeita a um aumento de temperatura
, o deslocamento da extremidade é dado por
. Se essa barra for impedida de se expandir, o que ocorre?
A) O deslocamento será o dobro do valor previsto pela fórmula devido à reação dos apoios.
B) O comprimento da barra se ajustará automaticamente sem gerar tensões internas.
C) A barra não sofre deslocamento nem tensão.
D) A barra desenvolverá tensões internas proporcionais a
, caracterizando tensões térmicas.
E) As tensões térmicas serão nulas se o coeficiente de dilatação for constante.
A) O deslocamento será o dobro do valor previsto pela fórmula devido à reação dos apoios.
B) O comprimento da barra se ajustará automaticamente sem gerar tensões internas.
C) A barra não sofre deslocamento nem tensão.
D) A barra desenvolverá tensões internas proporcionais a
E) As tensões térmicas serão nulas se o coeficiente de dilatação for constante.
Passo 1
O enunciado dá a fórmula do deslocamento quando a barra está livre para expandir:
onde
é o coeficiente de dilatação linear,
é o comprimento inicial da barra e
é a variação de temperatura. Pergunta: se a barra for impedida de se expandir, qual das alternativas A–E é correta?
Informações relevantes fornecidas:
aparecem na fórmula dada.
A alternativa D menciona (módulo de Young), que não foi dada explicitamente mas é a grandeza física que relaciona tensão e deformação elástica.
A barra está “impedida de se expandir” — isto significa que sua extremidade não pode deslocar-se livremente (condição de restrição completa).
A alternativa D menciona
A barra está “impedida de se expandir” — isto significa que sua extremidade não pode deslocar-se livremente (condição de restrição completa).
Passo 2
Entendendo a expansão livre (recapitulando devagar e com calma).
Definição de deformação térmica (ou “strain” térmico): quando a temperatura da barra aumenta uniformemente em , cada pequena porção da barra tende a alongar-se proporcionalmente à sua dimensão inicial. Esse alongamento relativo é a deformação térmica:
Definição de deformação térmica (ou “strain” térmico): quando a temperatura da barra aumenta uniformemente em
Aqui
é adimensional (razão
),
tem unidades de
e
em
. Multiplicando
por
obtemos o deslocamento total livre:
que é exatamente a fórmula do enunciado. Isso vale quando nada impede a barra de se expandir.
Passo 3
O que significa “impedida de se expandir” em termos de deformações?
Se a barra é rigidamente presa de modo que seu comprimento não pode mudar, o deslocamento macroscópico final é zero; isto é, a deformação total deve ser nula:
Se a barra é rigidamente presa de modo que seu comprimento não pode mudar, o deslocamento macroscópico final é zero; isto é, a deformação total deve ser nula:
Mas a deformação total resulta da soma de duas contribuições (princípio simples e importante):
onde
é a deformação mecânica causada por tensões internas (ou reações de apoio) e
é a deformação térmica que a barra “desejaria” ter (
). Como
, então
Isto quer dizer: a restrição impõe uma deformação mecânica que cancela a térmica — a barra fica em compressão (se aquecer) ou tração (se esfriar).
Passo 4
Ligando deformação mecânica à tensão: Lei de Hooke linear (aula rápida).
Para materiais elásticos lineares e pequenas deformações existe a relação de Hooke uniaxial:
Para materiais elásticos lineares e pequenas deformações existe a relação de Hooke uniaxial:
onde
é a tensão normal (em Pa) e
é o módulo de Young (em Pa). Substituindo
obtemos
O sinal negativo indica que, para um aquecimento (
), a tensão é compressiva. O módulo (valor absoluto) da tensão é
ou seja, a barra desenvolverá tensões internas proporcionais a
.
Passo 5
Interpretação prática e confronto com as alternativas.
A conclusão matemática acima diz claramente que, se a barra é totalmente impedida de se expandir, ela não desloca mas desenvolve tensão interna igual a (compressiva quando
). Portanto a alternativa correta é a que afirma que surgem tensões térmicas proporcionais a
— isto é a alternativa D.
A conclusão matemática acima diz claramente que, se a barra é totalmente impedida de se expandir, ela não desloca mas desenvolve tensão interna igual a
Breves comentários sobre por que as outras opções estão erradas:
- A) “dobro do deslocamento” — sem sentido: se está impedida, o deslocamento real é zero; não há fator 2.
- B) “ajustará automaticamente sem gerar tensões” — falso: a restrição impede a expansão e gera tensão.
- C) “não sofre deslocamento nem tensão” — só a primeira parte (sem deslocamento) é verdadeira; a segunda é falsa, há tensão.
- E) “tensões serão nulas se
constante” — errado: constante apenas torna a expressão simples; tensões são nulas apenas se ou se a barra puder expandir livremente.
Passo 6
Um exemplo numérico rápido para fixar (bem literal, sem calculadora pesada).
Considere ,
,
e
(aço típico). Então
Considere
Ou seja, a barra suportaria uma tensão de 200 MPa — é grande, por isso em engenharia térmica essas tensões são importantes.
Passo 7
Resumo das hipóteses por trás da fórmula usada:
- Temperatura uniforme ao longo da barra (sem gradientes).
- Material elástico linear (Lei de Hooke válida).
- Restrição completa do comprimento (barra não pode alongar).
- Pequenas deformações (linnearização válida).
Resposta
D