Uma barra de concreto está submetida às cargas P_{1}=400 \mathrm{kN} e P_{2}= 650 kN . Esta barra possui módulo de elasticidade longitudinal de 25 GPa , suas dimensões são L_{1}=2 m e L_{2}=1,5 m, com áreas das partes superior e inferior sendo, respectivamente, A_{1} e A_{2}. Sabendo que o máximo encurtamento permitido é de 1,0 \mathrm{~mm}. Pede-se:
Se a área A_{2} for três vezes a área A_{1}, qual é a máxima área permitida A_{1} ?

Passo 1

O enunciado descreve uma barra composta de dois trechos em série submetidos a esforços axiais:
  • No trecho 1 (comprimento L_{1}=2\,\mathrm{m}, área A_{1}) atua somente a carga P_{1}=400\,\mathrm{kN}.
  • No trecho 2 (comprimento L_{2}=1{,}5\,\mathrm{m}, área A_{2}) atua a carga P_{2}=650\,\mathrm{kN} além da carga transmitida pelo trecho 1.
    O módulo de elasticidade longitudinal é E=25\,\mathrm{GPa} e o encurtamento máximo permitido é \Delta L_{\max}=1{,}0\,\mathrm{mm}.
    Queremos determinar a área A_{1} quando A_{2}=3A_{1}.

Passo 2

Em vigas ou barras em série, o encurtamento total é a soma dos encurtamentos de cada trecho. Para um trecho i,
\Delta L_{i}=\frac{P_{i,\text{int}}\,L_{i}}{A_{i}\,E},
onde P_{i,\text{int}} é a força interna no trecho i.

Passo 3

Identificamos as forças internas:
  • Trecho 1: P_{1,\text{int}}=P_{1}=400\times10^{3}\,\mathrm{N}.
  • Trecho 2: P_{2,\text{int}}=P_{1}+P_{2}=(400+650)\times10^{3}=1{,}050\times10^{3}\,\mathrm{N}.

Passo 4

Como A_{2}=3A_{1}, o encurtamento total vale
\Delta L=\Delta L_{1}+\Delta L_{2} =\frac{P_{1}\,L_{1}}{A_{1}E}+\frac{(P_{1}+P_{2})\,L_{2}}{A_{2}E} =\frac{400\times10^{3}\cdot2}{A_{1}E} +\frac{1{,}050\times10^{3}\cdot1{,}5}{3A_{1}E}.
Fatorando A_{1}E,
\Delta L =\frac{800\times10^{3}+525\times10^{3}}{A_{1}E} =\frac{1{,}325\times10^{6}}{A_{1}E}.

Passo 5

Impondo \Delta L=\Delta L_{\max}=1{,}0\,\mathrm{mm}=1{,}0\times10^{-3}\,\mathrm{m} e E=25\times10^{9}\,\mathrm{Pa},
1{,}0\times10^{-3} =\frac{1{,}325\times10^{6}}{A_{1}\,25\times10^{9}} \quad\Longrightarrow\quad A_{1} =\frac{1{,}325\times10^{6}}{25\times10^{9}\times10^{-3}} =0{,}053\,\mathrm{m^{2}}.

Resposta

A área mínima (para não exceder o encurtamento) é
A_{1}=0{,}053\\ \mathrm{m^{2}}.

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