Determine o momento sobre a origem O da força F=-\mathbf{i}+3 \mathbf{j}+5 \mathbf{k} que atua no ponto A. Considere que a posição A é
\mathbf{r}=2 \mathbf{i}-4 \mathbf{j}+\mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o momento da força \mathbf{F}=-\mathbf{i}+3\mathbf{j}+5\mathbf{k} em relação à origem O, sabendo que a linha de ação da força passa pelo ponto A de posição \mathbf{r}=2\mathbf{i}-4\mathbf{j}+\mathbf{k}. Em mecânica, o momento (ou torque) de uma força em relação a um ponto é dado pelo produto vetorial
\mathbf{M}=\mathbf{r}\times\mathbf{F}.

Passo 2

Expressamos os vetores em coordenadas cartesianas:
\mathbf{r}=(2,\,-4,\,1), \quad \mathbf{F}=(-1,\,3,\,5).
Em seguida, montamos o determinante que define o produto vetorial
\mathbf{M} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[6pt] 2 & -4 & 1 \\[3pt] -1 & 3 & 5 \end{vmatrix}.]

Passo 3

Calculamos cada componente via a regra de Sarrus ou expansão por cofatores:
Componente em \mathbf{i}:
M_x = \begin{vmatrix} -4 & 1 \\[3pt] 3 & 5 \end{vmatrix} =(-4)\cdot5 - 1\cdot3 = -20 - 3 = -23.
Componente em \mathbf{j}:
M_y = - \begin{vmatrix} 2 & 1 \\[3pt] -1 & 5 \end{vmatrix} = -\bigl(2\cdot5 - 1\cdot(-1)\bigr) = -(10 + 1) = -11.
Componente em \mathbf{k}:
M_z = \begin{vmatrix} 2 & -4 \\[3pt] -1 & 3 \end{vmatrix} =2\cdot3 - (-4)\cdot(-1) = 6 - 4 = 2.]

Resposta

\mathbf{M} = -23\,\mathbf{i} \;-\;11\,\mathbf{j} \;+\;2\,\mathbf{k}.

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