Uma barra de concreto está submetida às cargas P_{1}=400 \mathrm{kN} e P_{2}= 650 kN . Esta barra possui módulo de elasticidade longitudinal de 25 GPa , suas dimensões são L_{1}=2 m e L_{2}=1,5 m, com áreas das partes superior e inferior sendo, respectivamente, A_{1} e A_{2}. Sabendo que o máximo encurtamento permitido é de 1,0 \mathrm{~mm}. Pede-se:
Agora, se as cargas mudarem para P_{1}=350 k N e P_{2}=225 k N, e se a área A_{1} é a metade da área A_{2}, qual é a máxima área permitida A_{1} ?

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo
Temos uma barra composta por dois trechos em série, submetidos a duas cargas axiais de compressão diferentes ( P_{1} no trecho superior e P_{2} no trecho inferior). Os comprimentos são L_{1}=2{,}0\text{ m} e L_{2}=1{,}5\text{ m}, o módulo de elasticidade é E=25\text{ GPa}, e a condição nova é A_{1}=\tfrac12\,A_{2}. Queremos garantir que o encurtamento total não ultrapasse \delta_{\max}=1{,}0\text{ mm}. O objetivo é encontrar a menor área A_{1} que satisfaz essa condição.

Passo 2

Expressar o encurtamento de cada trecho
Para um trecho com carga P, comprimento L, área A e módulo E, o encurtamento é dado por
\delta = \frac{P\,L}{E\,A}.
Logo,
\delta_{1} = \frac{P_{1}\,L_{1}}{E\,A_{1}}, \quad \delta_{2} = \frac{P_{2}\,L_{2}}{E\,A_{2}}.

Passo 3

Escrever o encurtamento total e a condição de limite
O encurtamento total é
\delta_{\mathrm{tot}} = \delta_{1} + \delta_{2} = \frac{P_{1}L_{1}}{E\,A_{1}} + \frac{P_{2}L_{2}}{E\,A_{2}}.
Devemos impor
\delta_{\mathrm{tot}} \le \delta_{\max} \quad\Longrightarrow\quad \frac{P_{1}L_{1}}{E\,A_{1}} + \frac{P_{2}L_{2}}{E\,A_{2}} \le \delta_{\max}.

Passo 4

Substituir A_{2}=2A_{1} e valores numéricos
Como A_{2}=2A_{1}, e usando \;P_{1}=350\text{ kN},\;P_{2}=225\text{ kN},\;L_{1}=2{,}0\text{ m},\;L_{2}=1{,}5\text{ m},\;E=25\times10^{6}\text{ kN/m}^{2},\;\delta_{\max}=1{,}0\text{ mm}=0{,}001\text{ m},
temos
\delta_{\mathrm{tot}} = \frac{350\cdot2{,}0}{25\times10^{6}\,A_{1}} + \frac{225\cdot1{,}5}{25\times10^{6}\,(2A_{1})}.

Passo 5

Calcular a expressão numérica e resolver a desigualdade
Primeiro simplificamos termo a termo:
\frac{350\cdot2{,}0}{25\times10^{6}} = \frac{700}{25\times10^{6}} = 2{,}8\times10^{-5},
\frac{225\cdot1{,}5}{25\times10^{6}\times2} = \frac{337{,}5}{50\times10^{6}} = 6{,}75\times10^{-6}.
Logo
\delta_{\mathrm{tot}} = \frac{2{,}8\times10^{-5} + 6{,}75\times10^{-6}}{A_{1}} = \frac{3{,}475\times10^{-5}}{A_{1}}.
Impondo \delta_{\mathrm{tot}}\le0{,}001:
\frac{3{,}475\times10^{-5}}{A_{1}} \le 0{,}001 \quad\Longrightarrow\quad A_{1} \ge \frac{3{,}475\times10^{-5}}{0{,}001} = 3{,}475\times10^{-2}\text{ m}^{2}.

Resposta

A menor área satisfatória (isto é, área mínima para não exceder 1 mm de encurtamento) é
A_{1}=3{,}48\times10^{-2}\text{ m}^{2}.

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