Uma barra delgada AB de 135 N gira em torno do ponto O. A outra extremidade é pressionada contra uma mola ( k=3240 N / cm) até que a mola seja comprimida 2,5 cm e a haste fique na posição horizontal. Se a haste for liberada dessa posição, determine sua velocidade angular e a reação no pivô quando a haste passa por uma posição vertical. (25 pontos)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma barra fina AB, apoiada num pivô em O, de peso . A outra ponta encosta numa mola de constante (ou seja, ) e comprime essa mola ( ) quando a barra fica na horizontal. Ao soltar, a energia armazenada na mola vira energia cinética + ganho/perda de energia potencial gravitacional, e queremos:
  1. a velocidade angular da barra ao passar na vertical;
  2. a reação no pivô nesse instante.
Conteúdo: conservação de energia + dinâmica de corpo rígido (momento de inércia, acelerações centrípetas/tangenciais e equilíbrio dinâmico para achar reação). Vamos precisar de:
  • massa da barra: ;
  • momento de inércia de uma barra em torno de uma das extremidades: ;
  • equação de energia: energia da mola = variação de energia potencial + energia cinética;
  • acelerações do CG no instante vertical e soma de forças para achar a reação.

Passo 2

Primeiro, converte o peso em massa e a constante da mola para unidades do SI:
I = tfrac13,m,L^2
Chamemos de o comprimento da barra (distância O–B). O momento de inércia em torno do pivô O é

Passo 3

Usando conservação de energia:
Energia armazenada na mola inicialmente
Erm mola = tfrac12,k,x^2 = tfrac12,(324000),(0,025)^2:J
Quando a barra vai de horizontal a vertical:
  • cai com o CG descendo tfrac12 k x^2 - m g L2 ;=;tfrac12 I,omega^2 = tfrac12l(tfrac13 m L^2r)omega^2 , perdendo energia potencial ;
  • ganha energia cinética rotacional .
Então

Passo 4

Isolando tfrac12,k,x^2 - m g L2 = tfrac16,m,L^2,omega^2 Longrightarrow omega^2 = 3mL^2l(kx^2 - m g Lr) :
boxed omega = raiz3,(k x^2 - m g L)m,L^2
Logo
Se você tiver o valor numérico de , basta substituir e achar .

Passo 5

Agora a reação no pivô quando a barra está vertical. No instante em que ela passa pela vertical, o CG faz:
  • aceleração centrípeta para cima (no sentido radial) de módulo tau = m g L2, ;
  • aceleração tangencial horizontal de módulo alpha = tauI = m g (L/2)tfrac13 m L^2 = 3g2L , onde o torque peso ainda ainda dá ângulo de aceleração .
O torque do peso em relação ao pivô, ainda na vertical, é
e como ,

Passo 6

Finalmente, escrevemos as componentes da reação m,vec aCG = m(vec ar + vec at) = sumvec Frm ext = vec R + vec P, no pivô pela 2ª lei em translação do CG:
m,at = Rx Longrightarrow Rx = m,alpha,L2 = m,3g2L,L2 = 34,m,g
onde m,ar = Ry - m g Longrightarrow Ry = m,omega^2,L2 + m g .
Separando componentes (eixos: boxed R = raizRx^2 + Ry^2 =raizl(tfrac34mgr)^2 + l(m,tfracL2,omega^2 + mgr)^2, vertical para cima, horizontal no sentido da aceleração tangencial):
  1. Horizontal ( ):
  1. Vertical ( ):
O valor numérico de sai quando você põe .
A reação total é

Resposta

  1. Rx = 34,m,g, Ry = m,omega^2,L2 + m,g, .
  2. Componentes da reação no pivô ao passar na vertical:
e .

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