Uma barra delgada AB de 135 N gira em torno do ponto O. A outra extremidade é pressionada contra uma mola (
) até que a mola seja comprimida 2,5 cm e a haste fique na posição horizontal. Se a haste for liberada dessa posição, determine sua velocidade angular e a reação no pivô quando a haste passa por uma posição vertical. (25 pontos)
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma barra fina AB, apoiada num pivô em O, de peso
. A outra ponta encosta numa mola de constante
(ou seja,
) e comprime essa mola
(
) quando a barra fica na horizontal. Ao soltar, a energia armazenada na mola vira energia cinética + ganho/perda de energia potencial gravitacional, e queremos:
- a velocidade angular
da barra ao passar na vertical; - a reação no pivô nesse instante.
Conteúdo: conservação de energia + dinâmica de corpo rígido (momento de inércia, acelerações centrípetas/tangenciais e equilíbrio dinâmico para achar reação). Vamos precisar de:
- massa da barra:
; - momento de inércia de uma barra em torno de uma das extremidades:
; - equação de energia: energia da mola = variação de energia potencial + energia cinética;
- acelerações do CG no instante vertical e soma de forças para achar a reação.
Passo 2
Primeiro, converte o peso em massa e a constante da mola para unidades do SI:
Chamemos de
o comprimento da barra (distância O–B). O momento de inércia em torno do pivô O é
Passo 3
Usando conservação de energia:
Energia armazenada na mola inicialmente
Energia armazenada na mola inicialmente
Quando a barra vai de horizontal a vertical:
- cai com o CG descendo
, perdendo energia potencial ; - ganha energia cinética rotacional
.
Então
Passo 4
Isolando
:
Logo
Se você tiver o valor numérico de
, basta substituir e achar
.
Passo 5
Agora a reação no pivô quando a barra está vertical. No instante em que ela passa pela vertical, o CG faz:
- aceleração centrípeta para cima (no sentido radial) de módulo
; - aceleração tangencial horizontal de módulo
, onde o torque peso ainda ainda dá ângulo de aceleração .
O torque do peso em relação ao pivô, ainda na vertical, é
e como
,
Passo 6
Finalmente, escrevemos as componentes da reação
no pivô pela 2ª lei em translação do CG:
onde
.
Separando componentes (eixos: vertical para cima,
horizontal no sentido da aceleração tangencial):
Separando componentes (eixos:
- Horizontal (
):
- Vertical (
):
O valor numérico de
sai quando você põe
.
A reação total é
A reação total é
Resposta
-
. - Componentes da reação no pivô ao passar na vertical:
e
.