O Uma barra delgada e homogênea, de comprimento
e massa
, é suportada como mostrado. Uma força horizontal
de módulo
é aplicada na extremidade B. Para
, determine (a) a aceleração angular da barra e (b) as componentes da reacão em C.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma barra delgada e homogênea com comprimento $ L = 0,914 , m $ e massa $ m = 3,4 , kg $. Ela está apoiada de um jeito específico e uma força horizontal $ F = 11,1 , N $ está sendo aplicada na extremidade B. O ponto de apoio C está a uma distância $ \overline{r} = \frac{1}{4} L = 0,229 , m $ de um dos extremos. Precisamos determinar:
a) A aceleração angular da barra.
b) As componentes da reação no ponto C.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estática e dinâmica rotacional, como torque, momento de inércia e as equações de movimento rotacional.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos de apoio e as forças atuantes na barra. Temos:
- A força horizontal $ F = 11,1 , N $ aplicada na extremidade B.
- O peso da barra, que atua no centro de massa.
- As reações no ponto de apoio C, que podem ter componentes horizontal e vertical.
Passo 3
Vamos calcular o torque resultante na barra para encontrar a aceleração angular. O torque ($ \tau $) é dado por:
Onde:
- $ I $ é o momento de inércia da barra.
- $ \alpha $ é a aceleração angular que queremos encontrar.
Passo 4
Primeiro, precisamos calcular o momento de inércia ($ I $) da barra em relação ao ponto de apoio C. Para uma barra delgada e homogênea, o momento de inércia em relação ao centro é:
Mas como o apoio está a uma distância $ r = \frac{1}{4} L $ do centro, usamos o teorema de Steiner:
Onde $ d $ é a distância entre o centro de massa e o ponto C.
Passo 5
Calculando $ d $:
Como o ponto C está a $ \frac{1}{4} L $ de um extremo, o centro de massa (que está no meio da barra) está a:
Passo 6
Agora, calculamos $ I_{centro} $:
E então:
Passo 7
Agora, vamos calcular o torque total na barra. O torque é a soma dos torques das forças que não passam pelo ponto de apoio C.
Temos:
- O torque da força $ F $ aplicada na extremidade B.
- O torque do peso da barra.
O torque é dado por:
Considerando os sinais positivos e negativos de acordo com a direção das rotações.
Passo 8
Calculando o torque devido à força $ F $:
A força $ F $ está aplicada a uma distância $ \frac{3}{4} L $ de C.
Este torque causa uma rotação no sentido anti-horário, então consideramos positivo.
Passo 9
Calculando o torque devido ao peso $ P = m g $:
O peso atua no centro de massa, que está a $ \frac{1}{4} L $ de C.
Este torque causa uma rotação no sentido horário, então consideramos negativo.
Passo 10
Totalizando os torques:
Isso significa que, na ausência de outras forças, a barra não teria aceleração angular. Mas como há uma força aplicada, precisamos reconsiderar.
Passo 11
Perdão, houve um erro no cálculo do torque devido ao peso. Vamos refazer:
Mas a distância real do centro de massa a C é $ d = \frac{1}{4} L $, então:
Portanto:
O torque total é então:
Isso implica que a aceleração angular seria zero, o que não faz sentido dado que uma força está sendo aplicada. O erro está na distância considerada para o torque da força $ F $.
Passo 12
Vamos corrigir a distância para a força $ F $. Se o apoio C está a $ \frac{1}{4} L $ de um extremo, então a extremidade B está a $ \frac{3}{4} L $ de C.
Então:
E o torque do peso:
Então:
Ainda assim, o torque total está zero, o que indica que a barra está em equilíbrio rotacional, sem aceleração angular.
Passo 13
Entendi o problema. Na verdade, para ter uma aceleração angular, precisamos considerar também a reação no apoio C que pode fornecer um torque adicional. Vamos considerar que a barra está sendo acelerada angularmente, então precisamos levar em conta a aceleração tangencial.
Usamos a segunda lei de Newton para a rotação:
Onde $ \alpha $ é a aceleração angular.
As reações em C podem fornecer torques que contribuem para $ \tau_{total} $. Porém, neste caso, como estamos buscando apenas a aceleração angular devido à força $ F $, vamos supor que o torque devido a $ F $ é balanceado pela torque do peso e pela reação na C.
Mas isso complica a análise. Talvez seja melhor considerar o sistema de equações estáticas e dinâmicas juntas.
Passo 14
Vamos abordar de outra maneira. Vamos considerar que a barra está rotacionando com aceleração angular $ \alpha $, e aplicar as equações de equilíbrio dinâmico.
Temos duas equações principais:
- Soma das forças horizontais ($ \Sigma F_x $) igual à massa vezes a aceleração linear da barra.
- Soma dos torques ($ \Sigma \tau $) igual ao momento de inércia vezes a aceleração angular.
Vamos detalhar cada uma.
Passo 15
Primeiro, identificamos as forças atuantes:
- Força $ F = 11,1 , N $ na extremidade B.
- Peso $ P = m g = 3,4 \times 9,81 \approx 33,35 , N $ no centro de massa.
- Reações no apoio C: $ R_x $ (horizontal) e $ R_y $ (vertical).
Aplicando a segunda lei de Newton para a translação:
Como a barra está rotacionando em torno de C, a aceleração do ponto C é zero. Então, temos:
Agora, relacionamos a aceleração linear $ a $ com a aceleração angular $ \alpha $:
Onde $ r = \frac{3}{4} L = 0,6855 , m $
Passo 16
Agora, voltamos à equação de torque:
O torque devido à força $ F $:
O torque devido ao peso $ P $:
Assumindo que o torque de $ P $ atua no sentido oposto ao de $ F $:
Passo 17
Agora, usamos a equação do torque:
Sabemos que $ I \approx 0,415 , kg \cdot m^2 $:
O sinal negativo indica que a aceleração angular está no sentido horário.
Resposta
a) A aceleração angular da barra é aproximadamente $ \alpha = -18,34 , rad/s^2 $ (sentido horário).
b) As componentes da reação em C são:
Portanto: