O Uma barra delgada e homogênea, de comprimento L=0,914 m e massa m=3,4 kg, é suportada como mostrado. Uma força horizontal F de módulo 11,1 N é aplicada na extremidade B. Para r=14 L=0,229 m, determine (a) a aceleração angular da barra e (b) as componentes da reacão em C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma barra delgada e homogênea com comprimento $ L = 0,914 , m $ e massa $ m = 3,4 , kg $. Ela está apoiada de um jeito específico e uma força horizontal $ F = 11,1 , N $ está sendo aplicada na extremidade B. O ponto de apoio C está a uma distância $ \overline{r} = \frac{1}{4} L = 0,229 , m $ de um dos extremos. Precisamos determinar:
a) A aceleração angular da barra.
b) As componentes da reação no ponto C.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estática e dinâmica rotacional, como torque, momento de inércia e as equações de movimento rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos de apoio e as forças atuantes na barra. Temos:
  • A força horizontal $ F = 11,1 , N $ aplicada na extremidade B.
  • O peso da barra, que atua no centro de massa.
  • As reações no ponto de apoio C, que podem ter componentes horizontal e vertical.

Passo 3

Vamos calcular o torque resultante na barra para encontrar a aceleração angular. O torque ($ \tau $) é dado por:
tau
Onde:
  • $ I $ é o momento de inércia da barra.
  • $ \alpha $ é a aceleração angular que queremos encontrar.

Passo 4

Primeiro, precisamos calcular o momento de inércia ($ I $) da barra em relação ao ponto de apoio C. Para uma barra delgada e homogênea, o momento de inércia em relação ao centro é:
I
Mas como o apoio está a uma distância $ r = \frac{1}{4} L $ do centro, usamos o teorema de Steiner:
Icentro = 112 m L^2
Onde $ d $ é a distância entre o centro de massa e o ponto C.

Passo 5

Calculando $ d $:
Como o ponto C está a $ \frac{1}{4} L $ de um extremo, o centro de massa (que está no meio da barra) está a:
d

Passo 6

Agora, calculamos $ I_{centro} $:
Icentro
E então:
Icentro = 112 times 3,4 , kg times (0,914 , m)^2 approx 0,237 , kg cdot m^2

Passo 7

Agora, vamos calcular o torque total na barra. O torque é a soma dos torques das forças que não passam pelo ponto de apoio C.
Temos:
  • O torque da força $ F $ aplicada na extremidade B.
  • O torque do peso da barra.
O torque é dado por:
F
Considerando os sinais positivos e negativos de acordo com a direção das rotações.

Passo 8

Calculando o torque devido à força $ F $:
A força $ F $ está aplicada a uma distância $ \frac{3}{4} L $ de C.
F
Este torque causa uma rotação no sentido anti-horário, então consideramos positivo.

Passo 9

Calculando o torque devido ao peso $ P = m g $:
O peso atua no centro de massa, que está a $ \frac{1}{4} L $ de C.
P = m g
14 L
Este torque causa uma rotação no sentido horário, então consideramos negativo.

Passo 10

Totalizando os torques:
tautotal = tauF - tauP = 7,64 , N cdot m - 7,64 , N cdot m = 0 , N cdot m
Isso significa que, na ausência de outras forças, a barra não teria aceleração angular. Mas como há uma força aplicada, precisamos reconsiderar.

Passo 11

Perdão, houve um erro no cálculo do torque devido ao peso. Vamos refazer:
tauP = r times P = 0,229 , m times 33,35 , N approx 7,64 , N cdot m
Mas a distância real do centro de massa a C é $ d = \frac{1}{4} L $, então:
d = 14 L
Portanto:
d = 0,229 , m
O torque total é então:
tauP = d times P = 0,229 , m times 33,35 , N approx 7,64 , N cdot m
Isso implica que a aceleração angular seria zero, o que não faz sentido dado que uma força está sendo aplicada. O erro está na distância considerada para o torque da força $ F $.

Passo 12

Vamos corrigir a distância para a força $ F $. Se o apoio C está a $ \frac{1}{4} L $ de um extremo, então a extremidade B está a $ \frac{3}{4} L $ de C.
Então:
F
E o torque do peso:
14 L
Então:
34 L
Ainda assim, o torque total está zero, o que indica que a barra está em equilíbrio rotacional, sem aceleração angular.

Passo 13

Entendi o problema. Na verdade, para ter uma aceleração angular, precisamos considerar também a reação no apoio C que pode fornecer um torque adicional. Vamos considerar que a barra está sendo acelerada angularmente, então precisamos levar em conta a aceleração tangencial.
Usamos a segunda lei de Newton para a rotação:
tautotal = I cdot alpha
Onde $ \alpha $ é a aceleração angular.
As reações em C podem fornecer torques que contribuem para $ \tau_{total} $. Porém, neste caso, como estamos buscando apenas a aceleração angular devido à força $ F $, vamos supor que o torque devido a $ F $ é balanceado pela torque do peso e pela reação na C.
Mas isso complica a análise. Talvez seja melhor considerar o sistema de equações estáticas e dinâmicas juntas.

Passo 14

Vamos abordar de outra maneira. Vamos considerar que a barra está rotacionando com aceleração angular $ \alpha $, e aplicar as equações de equilíbrio dinâmico.
Temos duas equações principais:
  1. Soma das forças horizontais ($ \Sigma F_x $) igual à massa vezes a aceleração linear da barra.
  2. Soma dos torques ($ \Sigma \tau $) igual ao momento de inércia vezes a aceleração angular.
Vamos detalhar cada uma.

Passo 15

Primeiro, identificamos as forças atuantes:
  • Força $ F = 11,1 , N $ na extremidade B.
  • Peso $ P = m g = 3,4 \times 9,81 \approx 33,35 , N $ no centro de massa.
  • Reações no apoio C: $ R_x $ (horizontal) e $ R_y $ (vertical).
Aplicando a segunda lei de Newton para a translação:
F = 11,1 , N
P = m g = 3,4 times 9,81 approx 33,35 , N
Como a barra está rotacionando em torno de C, a aceleração do ponto C é zero. Então, temos:
Rx
Ry
Agora, relacionamos a aceleração linear $ a $ com a aceleração angular $ \alpha $:
Sigma Fx = m ax
Onde $ r = \frac{3}{4} L = 0,6855 , m $

Passo 16

Agora, voltamos à equação de torque:
tautotal = I alpha
O torque devido à força $ F $:
F
O torque devido ao peso $ P $:
tauF = r times F = 0,6855 , m times 11,1 , N approx 7,64 , N cdot m
Assumindo que o torque de $ P $ atua no sentido oposto ao de $ F $:
P

Passo 17

Agora, usamos a equação do torque:
-7,61 = I alpha
Sabemos que $ I \approx 0,415 , kg \cdot m^2 $:
I approx 0,415 , kg cdot m^2
-7,61 = 0,415 alpha
O sinal negativo indica que a aceleração angular está no sentido horário.

Resposta

a) A aceleração angular da barra é aproximadamente $ \alpha = -18,34 , rad/s^2 $ (sentido horário).
b) As componentes da reação em C são:
alpha = -18,34 , rad/s^2
Ry = 33,35 , N
Portanto:
Rx = m ax = 3,4 times 18,34 times 0,229 approx 14,24 , N
Rx approx 14,24 , N (horizontal)

Exercícios relacionados