Uma barra delgada e homogênea, de comprimento
e massa
, está articulada em uma de suas extremidades a um eixo horizontal sem atrito. A barra é abandonada do repouso na posição horizontal. Determine (a) a aceleração angular da barra e (b) as componentes de reação em C. ( 35 pontos)
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos uma barra delgada e homogênea, com comprimento
e massa
, articulada em uma extremidade a um eixo horizontal sem atrito. A barra é largada do repouso na posição horizontal. Precisamos determinar (a) a aceleração angular da barra e (b) as componentes de reação no ponto de apoio C.
Conteúdo da matéria: Dinâmica de rotação, torque, momento de inércia, leis de Newton para sistemas rotacionais, forças de reação.
Vamos precisar usar as fórmulas para torque, momento de inércia de uma barra pivotada em uma extremidade, e as relações entre aceleração angular e forças.
Passo 2
Para encontrar a aceleração angular (
) da barra, vamos usar a segunda lei de Newton para rotação, que diz que o torque resultante (
) sobre o objeto é igual ao momento de inércia (
) multiplicado pela aceleração angular (
):
Passo 3
Primeiro, precisamos calcular o momento de inércia (
) da barra em relação ao eixo de rotação. Para uma barra homogênea pivotada em uma de suas extremidades, o momento de inércia é:
Passo 4
Em seguida, determinamos o torque (
) devido à força da gravidade. A força da gravidade atua no centro de massa da barra, que está a uma distância
do ponto de apoio. O torque é dado por:
Onde
é a aceleração da gravidade.
Passo 5
Agora, substituímos os valores de
e
na equação da segunda lei de Newton para rotação:
Passo 6
Podemos simplificar a equação cancelando a massa
dos dois lados e resolvendo para
:
Passo 7
Portanto, a aceleração angular da barra é:
Passo 8
Agora, para determinar as componentes de reação no ponto C, precisamos considerar as forças atuantes na barra. Há duas componentes de reação: a componente vertical (
) e a componente horizontal (
).
Passo 9
Primeiro, vamos calcular a componente vertical da reação. Como a barra está inicialmente na posição horizontal e sem movimento vertical, a única força vertical atuando é o peso da barra. Assim, a componente vertical da reação é igual ao peso:
Passo 10
Agora, calculamos a componente horizontal da reação. Essa componente está relacionada à aceleração linear do centro de massa da barra. A aceleração linear do centro de massa (
) é ligada à aceleração angular pela relação:
Substituindo o valor de
:
Passo 11
A força horizontal de reação,
, é então dada por:
Resposta
(a) A aceleração angular da barra é
.
(b) As componentes de reação em C são:
(componente vertical) e
(componente horizontal).