Uma barra delgada e homogênea com
e massa 3kg está mantida em posição por três fios. Para
, determine:
- A tensão nos cabos AC e BC imediatamente após a ruptura do cabo AD (2pt); e
- A máxima velocidade do centro de massa após a ruptura do cabo acima (2pt)
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede duas coisas:
- Dados numéricos:
- Comprimento da barra:
. - Massa da barra:
. - Ângulo dado:
.
- Comprimento da barra:
- A barra é mantida em posição por três cabos:
, e . - Pede:
- As tensões nos cabos
e imediatamente após a ruptura do cabo . - A máxima velocidade do centro de massa da barra após essa ruptura.
- As tensões nos cabos
Observação importante: o enunciado usa os pontos
e dá o valor
, mas não foi enviada a figura nem está explícito na descrição como os cabos estão dispostos espacialmente (por exemplo: onde ficam os pontos de fixação no teto, se os cabos
e
vão a um mesmo ponto
ou a pontos distintos, qual a posição do cabo
sobre a barra — no meio, em uma extremidade — e como
está medido). Essas informações geométricas são essenciais para montar as equações de equilíbrio e de movimento.
Passo 2
Por que a figura/definição geométrica é necessária (explicação didática)?
- Para escrever as equações de forças precisamos conhecer as direções dos cabos. Um cabo exerce uma força ao longo de sua direção; portanto a decomposição em componentes vertical e horizontal depende de como o cabo está orientado.
- Para escrever as equações de torques (momentos) é preciso saber onde os cabos estão aplicados sobre a barra (em que pontos ao longo da barra se prendem) e qual é a distância desses pontos ao eixo referido (por exemplo, ao centro de massa). Sem isto não se pode calcular braços de alavanca nem os momentos das forças.
- Para a segunda parte (máxima velocidade do centro de massa) normalmente usamos conservação de energia entre a posição inicial e a posição onde a velocidade é máxima. Isso exige saber qual é a deslocamento vertical do centro de massa enquanto a barra se move — esse deslocamento depende da geometria das amarras.
- Em suma: sem saber a posição dos pontos
e a geometria exata dos cabos (se é um único ponto fixo no teto ou se há dois pontos simétricos, se é vertical e está no centro da barra etc.) não há como montar nem resolver as equações.
Passo 3
O que eu faria se a figura/geomtria estivesse disponível — passo a passo metodológico (muito didático, para você poder aplicar na prova)
- Equilíbrio inicial (antes da ruptura)
- Escreveria as equações de equilíbrio estático da barra:
Aqui cada tensão num cabo aparece como uma força ao longo da direção do cabo; é preciso decompor em componentes horizontais e verticais usando e , onde é o ângulo correto entre o cabo e a barra (ou com a horizontal/vertical, conforme o desenho). - Com essas três equações e as posições conhecidas das aplicações de força, resolve-se as tensões em
no estado estático inicial.
- Imediatamente após a ruptura
- Imediatamente depois de romper
as velocidades ainda são nulas (condição instantânea), mas as acelerações já podem ser não nulas. Nesse instante aplicam-se as equações do movimento rigid-body (para o corpo inteiro):
onde
é o momento de inércia da barra em relação ao seu centro de massa e
é a aceleração angular no instante considerado.
- Para a barra delgada e homogênea em rotação no plano, o momento de inércia em torno do centro é
(Procure memorizar essa fórmula para a prova.) - As forças são as tensões
e (após a ruptura ). Cada tensão tem componentes horizontais e verticais que entram em . As mesmas tensões produzem momentos em torno do centro; esses momentos entram em . - Além das equações de força e momento, existem equações de vínculo (constraint) impostas pelas cordas inextensíveis: as acelerações dos pontos de aplicação (as extremidades da barra) ao longo da direção de cada cabo devem ser compatíveis com a corda. Isso gera equações relacionando
e . Por exemplo, para um cabo preso na extremidade a um ponto fixo do teto cuja direção inicial é o versor , vale no instante imediatamente após a ruptura: com (aqui para o instante inicial não há termo centrípeto porque ). Essas equações de vínculo são cruciais para determinar e e, consequentemente, as tensões. - Resumindo: para achar
e imediatamente após a ruptura resolve-se simultaneamente: - duas equações escalares de equilíbrio dinâmico (componentes
e de ), - uma equação de momento
, - mais as equações de vínculo para as acelerações dos pontos de aplicação (geralmente duas equações, uma por cabo), totalizando um sistema que determina
.
- duas equações escalares de equilíbrio dinâmico (componentes
- Máxima velocidade do centro de massa
- Uma vez conhecidas as acelerações e a evolução, a forma mais simples para achar a velocidade máxima do centro de massa costuma ser usar conservação de energia entre o instante imediatamente após a ruptura (posição inicial) e o instante em que a velocidade do CM é máxima (normalmente um ponto de inversão de movimento vertical ou quando a energia cinética rotacional/translacional atinge máximo antes de retornar).
- A equação de energia (se não houver perda de energia por atrito) é:
ou explicitamente onde é o deslocamento vertical do CM entre as posições consideradas e é a velocidade angular no instante de máxima . Relações de vínculo entre e (obtidas geometricamente) permitem eliminar e encontrar . - Em problemas simétricos normalmente a maior parte da energia potencial perdida vai tanto para energia cinética de translação quanto para rotação.
Passo 4
Exemplo simbólico (forma das equações) — para você ver como ficaria na prática
- Supondo um caso simétrico em que
e ligam as extremidades esquerda e direita a pontos fixos no teto e os ângulos iniciais formados por essas cordas com a barra são ambos , denotando as tensões por (simetria implica ), as equações teriam a forma: (equilíbrio vertical dinâmico), (momento em torno do CM; os termos exatos de momento dependem do braço e das componentes da força),
e as equações de vínculo para acelerações dos extremos projetadas na direção dos cabos, que ligame . - Depois de resolver esse sistema simbólico obtém-se
numericamente e . Em seguida, usando energia, obtém-se .
Passo 5
Conclusão prática imediata para seu caso
- Sem a figura ou uma descrição precisa da geometria (ex.: onde exatamente os cabos estão fixados, se
é um único ponto comum no teto ou são dois pontos simétricos, a posição exata do cabo sobre a barra), não é possível montar as equações numéricas nem dar os valores pedidos para as tensões e para a velocidade máxima. - Dito de outra forma: os dados numéricos que você deu (
) são necessários mas não são suficientes — falta a informação geométrica sobre as posições dos pontos e as direções/exata definição do ângulo .
Resposta
Não é possível calcular numericamente as tensões pedidas nem a máxima velocidade do centro de massa porque a figura ou a descrição geométrica completa (posições e direções dos pontos de fixação
e definição precisa de
) não foi fornecida. Sem essa informação geométrica não dá para montar as equações de vínculo e de momento necessárias para obter as respostas.