Um projetil de
com velocidade horizontal de
atinge um disco de madeira com massa de 30 kg suspenso por um pino A. Sabendo-se que o disco está inicialmente em repouso, determine:
(a) A distância "
" para que o IMPACTO impulsivo no pino A seja nulo (2pt);
(b) O ângulo máximo
de rotação do disco (1pt).
(a) A distância "
(b) O ângulo máximo
Passo 1
O enunciado (resumindo e listando os dados que vou usar):
- Um projétil de massa
tem velocidade horizontal e atinge um disco de madeira. - Massa do disco:
. - O disco está suspenso por um pino em
(pino fixo, eixo de rotação) e inicialmente em repouso. - Pede-se:
(a) a distância(medida a partir do centro do disco ao ponto de impacto, ao longo do diâmetro vertical) tal que o IMPACTO impulsivo no pino seja nulo;
(b) o ângulo máximoque o conjunto (disco + projétil, após o impacto) alcançará ao girar em torno do pino .
Observação sobre a geometria que vou assumir (padrão neste tipo de problema):
- O pino
fica na borda superior do disco (isto é, o pivô está a uma distância do centro, com raio do disco). O projétil atinge o disco numa posição abaixo do centro a uma distância medida a partir do centro (logo a distância do ponto de impacto ao pivô é ). - O disco é homogêneo (momento de inércia em torno do centro
).
Não inicio a resolução aqui — só identifiquei o que é pedido e os dados.
Passo 2
Conceito físico que resolve (parte a): centro de percussão e condição para impulso nulo no pivô.
- Explicação didática curta: durante um impacto muito curto há grandes impulsos. Se o pivô recebe impulsos, haverá uma força impulsiva no apoio. Queremos escolher o ponto de impacto de modo que o pivô não precise fornecer nenhum impulso extra — isto ocorre quando o impacto é aplicado no chamado centro de percussão relativo ao pivô. Quando se acerta exatamente na distância apropriada, a mudança de momento linear e a mudança de momento angular combinam-se de modo que a reação impulsiva no pivô é zero.
- Fórmula geral (distância a partir do centro de massa até o centro de percussão, ao longo da linha que liga o pivô ao centro): seja
a distância pivô centro de massa e o momento de inércia em torno do centro de massa. A distância (do centro de massa, na direção do pivô) do centro de percussão é
- Distância do pivô até o centro de percussão (útil também) é
onde
é o momento de inércia em torno do pivô (teorema dos eixos paralelos).
Passo 3
Aplicando a fórmula ao disco homogêneo.
- Para um disco homogêneo de raio
:
- Então a distância do centro (para baixo, ao longo do diâmetro que passa pelo ponto de impacto) até o centro de percussão é
- Conclusão imediata (resposta da parte a): a posição
medida a partir do centro do disco que anula o impulso no pivô é
Isto significa que o projétil deve acertar a meia distância entre o centro e a borda (no lado oposto ao pivô) — ou seja, a distância do pivô ao ponto de impacto é
Passo 4
Agora achar a velocidade angular inicial logo após o impacto (usar conservação do momento angular em torno do pivô — válida porque pelo (a) a reação impulsiva no pivô é nula).
- Momento angular inicial, em torno do pivô, do projétil (antes de embutir) é
(o projétil tem velocidade horizontal perpendicular ao raio). - Após o impacto o sistema disco+projétil gira com velocidade angular
. Momento angular final em torno do pivô é , onde
- Para o disco homogêneo
. Logo
- Conservação do momento angular (porque reação impulsiva no pivô é nula) dá
- Substituindo
e , obtemos (mantendo simbólico)
(continuous simplificação algebraica: notei fatores comuns que cancelam; este passo serve para ver dependência em
.)
Passo 5
Energia rotacional imediatamente após o impacto (energia disponível para subir) — cálculo numérico do valor.
- A energia rotacional inicial é
- Substituindo
e simplifica-se o e obtemos um valor independente de :
- Agora substituo os números
, , : - Calcule
: - Numerador:
. - Denominador:
. - Logo
- Calcule
Assim, a energia rotacional imediatamente após o impacto é aproximadamente
.
Passo 6
Transformar essa energia em energia potencial para obter
.
- Ao girar até o ponto mais alto, a energia rotacional será totalmente convertida em ganho de energia potencial de duas massas localizadas a distâncias diferentes do pivô:
- o centro de massa do disco (massa
) sobe de uma quantidade vertical ; - o projétil (agora fixo ao disco) sobe de
uma quantidade vertical .
- o centro de massa do disco (massa
- A elevação de energia potencial total é
- Igualando energia disponível com ganho potencial:
- Isolando
:
- Substituindo o valor numérico de
que calculamos e :
onde
está em metros. Finalmente
Observação:
depende do raio
do disco. Como o enunciado não fornece
, a expressão acima é a forma final em função de
. Se um valor numérico de
for conhecido, basta substituir para obter
(em radianos) e converter para graus, se desejar.
Resposta
(a)
(b)