Um projetil de \mathbf{4 5 , 3 g} com velocidade horizontal de 366 \mathrm{~m} / \mathrm{s} atinge um disco de madeira com massa de 30 kg suspenso por um pino A. Sabendo-se que o disco está inicialmente em repouso, determine:
(a) A distância " h " para que o IMPACTO impulsivo no pino A seja nulo (2pt);
(b) O ângulo máximo \theta_{\text {max }} de rotação do disco (1pt).

Passo 1

O enunciado (resumindo e listando os dados que vou usar):
  • Um projétil de massa m_p = 45{,}3\\ \mathrm{g} = 0{,}0453\\ \mathrm{kg} tem velocidade horizontal v=366\\ \mathrm{m/s} e atinge um disco de madeira.
  • Massa do disco: M=30\\ \mathrm{kg}.
  • O disco está suspenso por um pino em A (pino fixo, eixo de rotação) e inicialmente em repouso.
  • Pede-se:
    (a) a distância h (medida a partir do centro do disco ao ponto de impacto, ao longo do diâmetro vertical) tal que o IMPACTO impulsivo no pino A seja nulo;
    (b) o ângulo máximo \theta_{\max} que o conjunto (disco + projétil, após o impacto) alcançará ao girar em torno do pino A.
Observação sobre a geometria que vou assumir (padrão neste tipo de problema):
  • O pino A fica na borda superior do disco (isto é, o pivô está a uma distância d=R do centro, com R raio do disco). O projétil atinge o disco numa posição abaixo do centro a uma distância h medida a partir do centro (logo a distância do ponto de impacto ao pivô é r_p=d+h).
  • O disco é homogêneo (momento de inércia em torno do centro I_G=\tfrac{1}{2}MR^2).
Não inicio a resolução aqui — só identifiquei o que é pedido e os dados.

Passo 2

Conceito físico que resolve (parte a): centro de percussão e condição para impulso nulo no pivô.
  • Explicação didática curta: durante um impacto muito curto há grandes impulsos. Se o pivô recebe impulsos, haverá uma força impulsiva no apoio. Queremos escolher o ponto de impacto de modo que o pivô não precise fornecer nenhum impulso extra — isto ocorre quando o impacto é aplicado no chamado centro de percussão relativo ao pivô. Quando se acerta exatamente na distância apropriada, a mudança de momento linear e a mudança de momento angular combinam-se de modo que a reação impulsiva no pivô é zero.
  • Fórmula geral (distância a partir do centro de massa até o centro de percussão, ao longo da linha que liga o pivô ao centro): seja d a distância pivô \to centro de massa e I_G o momento de inércia em torno do centro de massa. A distância p (do centro de massa, na direção do pivô) do centro de percussão é
p=\frac{I_G}{M d}.
  • Distância do pivô até o centro de percussão (útil também) é
r_{\text{CP}}=d+p=\frac{I_G+M d^2}{M d}=\frac{I_A}{M d},
onde I_A=I_G+Md^2 é o momento de inércia em torno do pivô (teorema dos eixos paralelos).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao disco homogêneo.
  • Para um disco homogêneo de raio R:
I_G=\frac{1}{2}MR^2,\qquad d=R.
  • Então a distância do centro (para baixo, ao longo do diâmetro que passa pelo ponto de impacto) até o centro de percussão é
p=\frac{I_G}{M d}=\frac{\tfrac{1}{2}M R^2}{M R}=\frac{1}{2}R.
  • Conclusão imediata (resposta da parte a): a posição h medida a partir do centro do disco que anula o impulso no pivô é
\boxed{h=\frac{R}{2}.}
Isto significa que o projétil deve acertar a meia distância entre o centro e a borda (no lado oposto ao pivô) — ou seja, a distância do pivô ao ponto de impacto é
r_p=d+h=R+\frac{R}{2}=\frac{3}{2}R.

Passo 4

Agora achar a velocidade angular inicial logo após o impacto (usar conservação do momento angular em torno do pivô — válida porque pelo (a) a reação impulsiva no pivô é nula).
  • Momento angular inicial, em torno do pivô, do projétil (antes de embutir) é L_i=m_p v r_p (o projétil tem velocidade horizontal perpendicular ao raio).
  • Após o impacto o sistema disco+projétil gira com velocidade angular \omega. Momento angular final em torno do pivô é L_f=I_{\text{total}}\;\omega, onde
I_{\text{total}}=I_{\text{disco sobre pivô}}+m_p r_p^2.ô
  • Para o disco homogêneo I_{\text{disco sobre pivô}}=I_G+M d^2=\tfrac{1}{2}MR^2+MR^2=\tfrac{3}{2}MR^2ô. Logo
I_{\text{total}}=\frac{3}{2}M R^2 + m_p r_p^2.
  • Conservação do momento angular (porque reação impulsiva no pivô é nula) dá
m_p v r_p = I_{\text{total}}\,\omega \quad\Rightarrow\quad \omega=\frac{m_p v r_p}{I_{\text{total}}}.
  • Substituindo r_p=\tfrac{3}{2}R e I_{\text{total}}=R^2\!\left(\tfrac{3}{2}M + m_p\big(\tfrac{3}{2}\big)^2\right) =R^2\!\left(\tfrac{3}{2}M + \tfrac{9}{4}m_p\right), obtemos (mantendo R simbólico)
\omega=\frac{m_p v \cdot \tfrac{3}{2}R}{R^2\!\left(\tfrac{3}{2}M + \tfrac{9}{4}m_p\right)} =\frac{\tfrac{3}{2} m_p v}{R\!\left(\tfrac{3}{2}M + \tfrac{9}{4}m_p\right)} =\frac{m_p v}{R}\cdot\frac{1}{M + \tfrac{3}{2}m_p}.
(continuous simplificação algebraica: notei fatores comuns que cancelam; este passo serve para ver dependência em R.)

Passo 5

Energia rotacional imediatamente após o impacto (energia disponível para subir) — cálculo numérico do valor.
  • A energia rotacional inicial é
K_{\text{rot}}=\tfrac{1}{2}I_{\text{total}}\omega^2 =\tfrac{1}{2}\frac{(m_p v r_p)^2}{I_{\text{total}}}.
  • Substituindo r_p=\tfrac{3}{2}R e I_{\text{total}}=R^2\!\left(\tfrac{3}{2}M + \tfrac{9}{4}m_p\right) simplifica-se o R^2 e obtemos um valor independente de R:
K_{\text{rot}} =\frac{1}{2}\frac{m_p^2 v^2 \left(\tfrac{3}{2}\right)^2 R^2}{R^2\!\left(\tfrac{3}{2}M + \tfrac{9}{4}m_p\right)} =\frac{1}{2}\cdot\frac{\tfrac{9}{4}\,m_p^2 v^2}{\tfrac{3}{2}M + \tfrac{9}{4}m_p} =\frac{1{,}125\,m_p^2 v^2}{1{,}5\,M + 2{,}25\,m_p}.
  • Agora substituo os números m_p=0{,}0453\\ \mathrm{kg}, v=366\\ \mathrm{m/s}, M=30\\ \mathrm{kg}:
    • Calcule m_p^2 v^2: m_p^2 v^2 = (0{,}0453)^2(366)^2 \approx 274{,}8898\\ (\text{J}^2\!/\text{kg}^2\\ \text{units cancel}).
    • Numerador: 1{,}125\times 274{,}8898\approx 309{,}251.
    • Denominador: 1{,}5 M + 2{,}25 m_p = 1{,}5\times30 + 2{,}25\times0{,}0453 \approx 45{,}101925.
    • Logo K_{\text{rot}}\approx\frac{309{,}251}{45{,}101925}\\ \mathrm{J}\approx 6{,}857\\ \mathrm{J}.
Assim, a energia rotacional imediatamente após o impacto é aproximadamente 6{,}857\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Transformar essa energia em energia potencial para obter \theta_{\max}.
  • Ao girar até o ponto mais alto, a energia rotacional será totalmente convertida em ganho de energia potencial de duas massas localizadas a distâncias diferentes do pivô:
    • o centro de massa do disco (massa M) sobe de d=R uma quantidade vertical \Delta y_{\text{CM}}=R(1-\cos\theta);
    • o projétil (agora fixo ao disco) sobe de r_p=\tfrac{3}{2}R uma quantidade vertical \Delta y_p=r_p(1-\cos\theta)=\tfrac{3}{2}R(1-\cos\theta).
  • A elevação de energia potencial total é
\Delta U = g\big(M d + m_p r_p\big)\,(1-\cos\theta) = gR\big(M + \tfrac{3}{2}m_p\big)\,(1-\cos\theta).
  • Igualando energia disponível com ganho potencial:
K_{\text{rot}} = gR\big(M + \tfrac{3}{2}m_p\big)\,(1-\cos\theta).
  • Isolando 1-\cos\theta:
1-\cos\theta=\frac{K_{\text{rot}}}{gR\big(M + \tfrac{3}{2}m_p\big)}.
  • Substituindo o valor numérico de K_{\text{rot}} que calculamos e M+\tfrac{3}{2}m_p\approx 30{,}06795:
1-\cos\theta \approx \frac{6{,}857}{9{,}81\;R\; (30{,}06795)} \approx \frac{0{,}02324}{R},
onde R está em metros. Finalmente
\theta_{\max}=\operatorname{arccos}\!\Big(1-\dfrac{0{,}02324}{R}\Big).
Observação: \theta_{\max} depende do raio R do disco. Como o enunciado não fornece R, a expressão acima é a forma final em função de R. Se um valor numérico de R for conhecido, basta substituir para obter \theta_{\max} (em radianos) e converter para graus, se desejar.

Resposta

(a) h=\dfrac{R}{2}
(b) \displaystyle \theta_{\max}=\operatorname{arccos}\!\Big(1-\dfrac{0{,}02324}{R}\Big)

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