Uma barra de diâmetro
\mathrm{d}=28 \mathrm{~mm} e de 1 m de comprimento está engastada nas duas extremidades. Um momento de torção aplicado a uma distância \mathrm{a}=698 \mathrm{~mm} de uma das extremidades provoca uma tensão de cisalhamento máxima de 39 MPa . Serão solicitadas as seguintes respostas:
A intensidade do momento de torção;
b) O ângulo de torção no ponto de aplicação do momento;
\mathrm{G}=76000 \mathrm{MPa}.
Forneça o valor do momento que provoque a tensão máxima igual a 39 MPa .
Resposta:
Resposta
Nm ◯
kNm ◯
kNcm ◯

Passo 1

O que o enunciado dá:
  • Diâmetro da barra: d=28\\ \mathrm{mm}.
  • Comprimento total da barra: L=1{,}00\\ \mathrm{m}=1000\\ \mathrm{mm}.
  • Momento aplicado a uma distância a=698\\ \mathrm{mm} de uma das extremidades (ou seja, L_1=a=698\\ \mathrm{mm} e L_2=L-L_1=302\\ \mathrm{mm}).
  • Tensão de cisalhamento máxima observada: \tau_{\max}=39\\ \mathrm{MPa}=39\\ \mathrm{N/mm^2}.
  • Módulo de cisalhamento: G=76000\\ \mathrm{MPa}=76000\\ \mathrm{N/mm^2}.
O que o enunciado pede:
a) A intensidade do momento de torção T (o valor do momento que provoca \tau_{\max}=39\\ \mathrm{MPa}).
b) O ângulo de torção no ponto de aplicação do momento (ângulo de rotação daquela seção).

Passo 2

Relação entre tensão de cisalhamento e torque numa seção circular maciça:
  • Para um eixo circular sólido a tensão máxima de cisalhamento na superfície é dada por
\tau_{\max}=\frac{T_{\text{int}}\,c}{J},
onde:
  • T_{\text{int}} é o torque interno na seção considerada (em \mathrm{N\cdot mm} se usarmos mm),
  • c é o raio externo: c=\dfrac{d}{2},
  • J é o momento polar de inércia da seção circular sólida: \displaystyle J=\frac{\pi d^4}{32} (unidades \mathrm{mm}^4 se d em mm).
Vamos calcular J e c:
d=28\\ \mathrm{mm}\quad\Rightarrow\quad c=\frac{28}{2}=14\\ \mathrm{mm}.
J=\frac{\pi d^4}{32}=\frac{\pi\cdot 28^4}{32}=\frac{\pi\cdot 614656}{32}=19208\pi\\ \mathrm{mm^4}\approx 60361{,}12\\ \mathrm{mm^4}.

Passo 3

Distribuição de torques quando o eixo está engastado nas duas extremidades e o torque T é aplicado em um ponto interior:
  • Reações de torque nos engastes T_1 e T_2 satisfazem equilíbrio: T_1+T_2=T.
  • Compatibilidade de torção (continuidade do ângulo na seção de aplicação) implica
T_1 L_1 = T_2 L_2.
Dessas duas equações resulta
T_1 = T\frac{L_2}{L},\qquad T_2=T\frac{L_1}{L},
onde L=L_1+L_2.
No nosso caso L_1=698\\ \mathrm{mm}, L_2=302\\ \mathrm{mm} e L=1000\\ \mathrm{mm}. Portanto
T_1= T\cdot\frac{302}{1000}=0{,}302\,T,\qquad T_2=T\cdot\frac{698}{1000}=0{,}698\,T.
A maior tensão de cisalhamento será na seção com maior torque interno, aqui T_2 (porque 0{,}698>0{,}302).

Passo 4

Determinar T a partir de \tau_{\max}:
  • A máxima tensão \tau_{\max} ocorre onde o torque interno vale T_2=0{,}698\,T. Usando \tau_{\max}=(T_2\,c)/J obtemos
\tau_{\max}=\frac{(0{,}698\,T)\,c}{J}\quad\Rightarrow\quad T=\frac{\tau_{\max}\,J}{0{,}698\,c}.
Substituindo valores (tudo em unidades mm / N / MPa, lembrando que 1\\ \mathrm{MPa}=1\\ \mathrm{N/mm^2}):
\tau_{\max}=39\\ \mathrm{N/mm^2},\quad J\approx60361{,}12\\ \mathrm{mm^4},\quad c=14\\ \mathrm{mm}.
Calculemos passo a passo:
\tau_{\max}\,J=39\cdot60361{,}12\approx2354083{,}68\\ \mathrm{N\cdot mm}.
\frac{\tau_{\max}\,J}{c}=\frac{2354083{,}68}{14}\approx168148{,}83\\ \mathrm{N\cdot mm}.
Esse é o torque interno máximo (isto é T_2). Logo
T=\frac{168148{,}83}{0{,}698}\approx240917{,}76\\ \mathrm{N\cdot mm}.
Conversões de unidades:
T\approx240917{,}76\\ \mathrm{N\cdot mm}=240{,}91776\\ \mathrm{N\cdot m}\approx240{,}9\\ \mathrm{N\cdot m},
T\approx0{,}24091776\\ \mathrm{kN\cdot m}\approx0{,}2409\\ \mathrm{kN\cdot m},
1\\ \mathrm{kN\cdot cm}=10000\\ \mathrm{N\cdot mm}\quad\Rightarrow\quad T\approx\frac{240917{,}76}{10000}\approx24{,}0918\\ \mathrm{kN\cdot cm}\approx24{,}09\\ \mathrm{kN\cdot cm}.

Passo 5

Cálculo do ângulo de torção no ponto de aplicação:
  • A rotação (ângulo de torção) da seção de aplicação em relação à extremidade esquerda (fixa) é
\theta=\frac{T_1\,L_1}{G\,J},
com T_1=0{,}302\,T, L_1=698\\ \mathrm{mm}, G=76000\\ \mathrm{N/mm^2}, J em \mathrm{mm^4}. Alternativamente pode-se usar a forma combinada
\theta=\frac{T\,L_1\,L_2}{L\,G\,J},
que vem de substituir T_1=T\cdot\dfrac{L_2}{L}.
Usando T\approx240917{,}76\\ \mathrm{N\cdot mm}:
\theta=\frac{240917{,}76\cdot 698\cdot 302}{1000\cdot 76000\cdot 60361{,}12}.
Vamos calcular numericamente (todas as distâncias em mm, G em N/mm^2, J em mm^4):
  • Produto (L_1L_2)=698\cdot302=210796.
  • Numerador: 240917{,}76\cdot210796\approx5{,}07845\times10^{7}.
  • Denominador: 1000\cdot76000\cdot60361{,}12\approx4{,}58745\times10^{9}.
Logo
\theta\approx\frac{5{,}07845\times10^{7}}{4{,}58745\times10^{9}}\approx0{,}01107\\ \text{rad}.
Convertendo para graus:
\theta_{\text{(graus)}}=\theta\cdot\frac{180^\circ}{\pi}\approx0{,}01107\cdot57{,}2958\approx0{,}634^\circ.

Passo 6

Resumo numérico (arredondamentos razoáveis para uso em prova):
  • Momento de torção total que provoca \tau_{\max}=39\\ \mathrm{MPa}: cerca de 240{,}9\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Ângulo de torção na seção de aplicação: cerca de 0{,}01107\\ \mathrm{rad} (≈ 0{,}634^\circ).

Resposta

a) T=240,9\\ \mathrm{N\,m}=0,2409\\ \mathrm{kN\,m}=24,09\\ \mathrm{kN\,cm}
b) \theta\approx0,01107\\ \mathrm{rad}\approx0,634^\circ

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