Uma barra de diâmetro
\mathrm{d}=28 \mathrm{~mm} e de 1 m de comprimento está engastada nas duas extremidades. Um momento de torção aplicado a uma distância \mathrm{a}=698 \mathrm{~mm} de uma das extremidades provoca uma tensão de cisalhamento máxima de 39 MPa . Serão solicitadas as seguintes respostas:
A intensidade do momento de torção;
b) O ângulo de torção no ponto de aplicação do momento;
\mathrm{G}=76000 \mathrm{MPa}.
Forneça o valor do momento que provoque a tensão máxima igual a 39 MPa .
Resposta:
Resposta
Nm ◯
kNm ◯
kNcm ◯
\mathrm{d}=28 \mathrm{~mm} e de 1 m de comprimento está engastada nas duas extremidades. Um momento de torção aplicado a uma distância \mathrm{a}=698 \mathrm{~mm} de uma das extremidades provoca uma tensão de cisalhamento máxima de 39 MPa . Serão solicitadas as seguintes respostas:
A intensidade do momento de torção;
b) O ângulo de torção no ponto de aplicação do momento;
\mathrm{G}=76000 \mathrm{MPa}.
Forneça o valor do momento que provoque a tensão máxima igual a 39 MPa .
Resposta
kNm ◯
kNcm ◯
Passo 1
O que o enunciado dá:
- Diâmetro da barra:
. - Comprimento total da barra:
. - Momento aplicado a uma distância
de uma das extremidades (ou seja, e ). - Tensão de cisalhamento máxima observada:
. - Módulo de cisalhamento:
.
O que o enunciado pede:
a) A intensidade do momento de torção (o valor do momento que provoca
).
b) O ângulo de torção no ponto de aplicação do momento (ângulo de rotação daquela seção).
a) A intensidade do momento de torção
b) O ângulo de torção no ponto de aplicação do momento (ângulo de rotação daquela seção).
Passo 2
Relação entre tensão de cisalhamento e torque numa seção circular maciça:
- Para um eixo circular sólido a tensão máxima de cisalhamento na superfície é dada por
onde:
-
é o torque interno na seção considerada (em se usarmos mm), -
é o raio externo: , -
é o momento polar de inércia da seção circular sólida: (unidades se em mm).
Vamos calcular
e
:
Passo 3
Distribuição de torques quando o eixo está engastado nas duas extremidades e o torque
é aplicado em um ponto interior:
- Reações de torque nos engastes
e satisfazem equilíbrio: . - Compatibilidade de torção (continuidade do ângulo na seção de aplicação) implica
Dessas duas equações resulta
onde
.
No nosso caso
,
e
. Portanto
A maior tensão de cisalhamento será na seção com maior torque interno, aqui
(porque
).
Passo 4
Determinar
a partir de
:
- A máxima tensão
ocorre onde o torque interno vale . Usando obtemos
Substituindo valores (tudo em unidades mm / N / MPa, lembrando que
):
Calculemos passo a passo:
Esse é o torque interno máximo (isto é
). Logo
Conversões de unidades:
Passo 5
Cálculo do ângulo de torção no ponto de aplicação:
- A rotação (ângulo de torção) da seção de aplicação em relação à extremidade esquerda (fixa) é
com
,
,
,
em
. Alternativamente pode-se usar a forma combinada
que vem de substituir
.
Usando
:
Vamos calcular numericamente (todas as distâncias em mm,
em N/mm^2,
em mm^4):
- Produto
. - Numerador:
. - Denominador:
.
Logo
Convertendo para graus:
Passo 6
Resumo numérico (arredondamentos razoáveis para uso em prova):
- Momento de torção total que provoca
: cerca de . - Ângulo de torção na seção de aplicação: cerca de
(≈ ).
Resposta
a)
b)
b)