Considere que uma carga concentrada de 10 kN é aplicada sobre a superfície de um solo. Calcule o acréscimo de tensões ocasionado pela aplicação desta carga no ponto A:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o acréscimo de tensão no ponto A provocado por uma carga concentrada aplicada na superfície.
Informações fornecidas (peguei estes dados da imagem):
Informações fornecidas (peguei estes dados da imagem):
- A carga aplicada na superfície é
. - A profundidade vertical do ponto A em relação à superfície é
. - A linha que liga a carga ao ponto A forma um ângulo de
com a vertical (ou seja, a direção do ponto A está a da vertical, conforme a imagem).
Passo 2
Determinar a distância radial horizontal
(a projeção horizontal do ponto A em relação ao ponto de aplicação da carga). Pela geometria do triângulo formado pela vertical
e a posição de A, vale:
Lembrando que
, temos
(Para contas subsequentes é conveniente notar que
.)
Passo 3
Escolha do método e fórmula que vamos usar (explicação didática):
- Para uma carga concentrada
aplicada na superfície de um meio elástico semi-infinito (meio “semi-espaço”), a distribuição da tensão vertical em um ponto abaixo da superfície é dada pela fórmula de Boussinesq para tensão vertical. Essa é a fórmula padrão em mecânica dos solos para um ponto em profundidade devido a uma carga pontual na superfície — ela já incorpora a dependência com a profundidade e com a distância radial . - A fórmula de Boussinesq (vertical) é:
Explicando cada símbolo:
-
é a carga concentrada aplicada na superfície (unidade: se quisermos resultado em ); -
é a profundidade vertical do ponto onde se calcula a tensão (m); -
é a distância radial horizontal entre a linha de ação da carga e a projeção horizontal do ponto considerado (m); -
é o acréscimo da tensão vertical no ponto (unidade: kN/m = kPa se estiver em kN e distâncias em m).
Observação pedagógica rápida: a fórmula vem de solução elástica do semi-espaço e leva em conta que a influência diminui rapidamente com a distância (aparece potênciano denominador).
Passo 4
Substituir os valores na fórmula passo a passo (contas mostradas explicitamente).
Já temos ,
e
. Calculemos os termos:
Já temos
Agora a fração interna:
Passo 5
Calcular o fator
e o produto final:
Multiplicando:
Convertendo para unidades mais usuais:
, portanto
Passo 6
Interpretação rápida (motivação): o acréscimo de tensão vertical no ponto A é bem pequeno porque a carga é pontual e o ponto A está relativamente afastado (tanto em profundidade quanto radialmente), e a influência de uma carga pontual decai rápido com a distância.