Considere que uma carga concentrada de 10 kN é aplicada sobre a superfície de um solo. Calcule o acréscimo de tensões ocasionado pela aplicação desta carga no ponto A:

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o acréscimo de tensão no ponto A provocado por uma carga concentrada aplicada na superfície.
Informações fornecidas (peguei estes dados da imagem):
  • A carga aplicada na superfície é P=10\\ \text{kN}.
  • A profundidade vertical do ponto A em relação à superfície é z=0,9\\ \text{m}.
  • A linha que liga a carga ao ponto A forma um ângulo de 60^\circ com a vertical (ou seja, a direção do ponto A está a 60^\circ da vertical, conforme a imagem).

Passo 2

Determinar a distância radial horizontal r (a projeção horizontal do ponto A em relação ao ponto de aplicação da carga). Pela geometria do triângulo formado pela vertical z e a posição de A, vale:
r = z \tan(60^\circ).
Lembrando que \tan(60^\circ)=\sqrt{3}, temos
r = 0,9\sqrt{3}=0,9\cdot1,732\ldots=1,5588\\ \text{m}.
(Para contas subsequentes é conveniente notar que r^2=(0,9\sqrt{3})^2=0,81\cdot3=2,43.)

Passo 3

Escolha do método e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Para uma carga concentrada P aplicada na superfície de um meio elástico semi-infinito (meio “semi-espaço”), a distribuição da tensão vertical \Delta\sigma_z em um ponto abaixo da superfície é dada pela fórmula de Boussinesq para tensão vertical. Essa é a fórmula padrão em mecânica dos solos para um ponto em profundidade devido a uma carga pontual na superfície — ela já incorpora a dependência com a profundidade z e com a distância radial r.
  • A fórmula de Boussinesq (vertical) é:
\Delta\sigma_z=\frac{3P}{2\pi}\,\frac{z^{3}}{(r^{2}+z^{2})^{5/2}}.
Explicando cada símbolo:
  • P é a carga concentrada aplicada na superfície (unidade: \text{kN} se quisermos resultado em \text{kN/m}^2=\text{kPa});
  • z é a profundidade vertical do ponto onde se calcula a tensão (m);
  • r é a distância radial horizontal entre a linha de ação da carga e a projeção horizontal do ponto considerado (m);
  • \Delta\sigma_z é o acréscimo da tensão vertical no ponto (unidade: kN/m ^2 = kPa se P estiver em kN e distâncias em m).
    Observação pedagógica rápida: a fórmula vem de solução elástica do semi-espaço e leva em conta que a influência diminui rapidamente com a distância (aparece potência 5/2 no denominador).

Passo 4

Substituir os valores na fórmula passo a passo (contas mostradas explicitamente).
Já temos P=10\\ \text{kN}, z=0,9\\ \text{m} e r=0,9\sqrt{3}\\ \text{m}. Calculemos os termos:
r^{2}+z^{2}=2,43+0,81=3,24.
z^{3}=0,9^{3}=0,729.
(r^{2}+z^{2})^{5/2}=(3,24)^{5/2}=(3,24)^{2}\sqrt{3,24}=10,4976\cdot1,8=18,89568.
Agora a fração interna:
\frac{z^{3}}{(r^{2}+z^{2})^{5/2}}=\frac{0,729}{18,89568}=0,038587\ldots

Passo 5

Calcular o fator \dfrac{3P}{2\pi} e o produto final:
\frac{3P}{2\pi}=\frac{3\cdot10}{2\pi}=\frac{15}{\pi}\approx4,77464829\\ \text{(kN/m}^2\text{) per unidade da fração}.çã
Multiplicando:
\Delta\sigma_z=\frac{15}{\pi}\cdot0,038587\ldots\approx0,18428\\ \text{kN/m}^2.
Convertendo para unidades mais usuais: 1\\ \text{kN/m}^2=1\\ \text{kPa}, portanto
\Delta\sigma_z\approx0,184\\ \text{kPa}=184\\ \text{Pa}\\ (\text{aprox.}).

Passo 6

Interpretação rápida (motivação): o acréscimo de tensão vertical no ponto A é bem pequeno porque a carga é pontual e o ponto A está relativamente afastado (tanto em profundidade quanto radialmente), e a influência de uma carga pontual decai rápido com a distância.

Resposta

\Delta\sigma_z \approx 0,184\\ \text{kPa}\\ (\approx 184\\ \text{Pa})

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