Foi aplicado no perfil abaixo uma sobrecarga de 1500 kN na superfície do terreno. Determine as tensões iniciais, os acréscimos de tensões devido à sobrecarga e as tensões finais no ponto A .
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar as tensões iniciais no ponto
. - Determinar os acréscimos de tensões no ponto
causados pela sobrecarga . - Determinar as tensões finais no ponto
(inicial + acréscimo).
Informações relevantes dadas (peguei estes dados da figura enviada):
- Sobrecarga na superfície:
. - Distância vertical do ponto A até a superfície:
. - Distância horizontal do ponto A ao eixo da carga:
. - Distância radial (do ponto de aplicação da carga até A):
(fornecida). - Peso específico do solo:
. - Coeficiente de empuxo ao repouso:
. - Poisson (coeficiente de elasticidade transversal):
.
O que precisamos encontrar explicitamente:
- Tensões iniciais em
: vertical inicial e horizontal inicial . - Acréscimos de tensões em
devido a : e . - Tensões finais em
: e .
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vou usar (com explicação didática curta):
- Tensão vertical inicial por sobrecarga da própria massa de solo: a tensão vertical efetiva, no nível de profundidade
, devido ao peso específico é simplesmente a pressão devida ao peso da coluna de solo acima desse ponto. Fórmula:
onde
é o peso específico (
) e
é a profundidade (
). O resultado tem unidade
(que também chamamos de kPa).
- Tensão horizontal inicial ao repouso: no estado a repouso (antes da sobrecarga), a tensão horizontal é dada por
onde
é o coeficiente de empuxo ao repouso (número adimensional).
- Acréscimo de tensão vertical devido a uma carga pontual na superfície: para um meio elástico semi-infinito a solução clássica de Boussinesq dá o acréscimo de tensão vertical em um ponto situado a profundidade
e deslocamento radial pela fórmula:
onde
. Explicando: a fórmula mostra que quanto maior a profundidade o efeito diminui rapidamente (potência 5/2 no denominador), e a distribuição depende da geometria
.
- Acréscimo de tensão horizontal: para estimar
há várias formas (usar as fórmulas completas de Boussinesq/Cerruti para componentes horizontais ou aproximações elásticas). Aqui vou usar a aproximação elástica linear que relaciona incrementos de tensão horizontal ao incremento vertical via a razão quando se assume deformação lateral restrita (situação comum em análises de acréscimos locais). Assim usarei:
Observação sobre escolha: escolhi esta forma porque o enunciado forneceu
e
, então é razoável usar Boussinesq para
(padrão para carga pontual) e uma relação elástica simples para estimar
. Para
essa relação dá um fator simples (ver cálculo adiante). Se a prova exigisse as componentes horizontais exatas, usar-se-iam as fórmulas completas de Boussinesq/Cerruti para
e
; aqui a aproximação elástica é didática e prática para cálculo manual rápido.
Passo 3
Calcular as tensões iniciais (etapa passo a passo):
- Calcular
:
Explanação: imagine uma coluna de solo de área unitária
e altura
; seu peso é
, portanto a pressão na base é
.
- Calcular
usando :
Explicação:
indica a proporção entre tensão horizontal e vertical no estado de repouso do solo.
Passo 4
Calcular o acréscimo de tensão vertical
pela fórmula de Boussinesq (usar
fornecido):
- Usar a fórmula
Substituindo valores (atenção às unidades:
em
, comprimentos em
; o resultado fica em
):
- Primeiro calcule
. - Já foi fornecido
. Vou usar (valor exato ) para precisão quando necessário; com fornecido o resultado numérico fica praticamente o mesmo. - Calcule numericamente:
Fazendo as contas (passo a passo):
- Numerador:
. - Denominador:
. Calculando . - Então
. - Logo
Interpretação: a sobrecarga pontual de
produz um acréscimo de tensão vertical em
de aproximadamente
.
Passo 5
Calcular o acréscimo de tensão horizontal
pela relação elástica escolhida:
- Relação adotada:
- Substituindo
:
- Portanto para este valor de
temos
Comentário didático: com
(solo praticamente incompressível), a aproximação usada faz com que o acréscimo horizontal seja numericamente igual ao acréscimo vertical neste modelo simples.
Passo 6
Calcular as tensões finais em
(inicial + acréscimo):
- Tensão vertical final:
- Tensão horizontal final:
Arredondando sensivelmente (duas casas decimais onde aplicável):
Resposta
\sigma_{v0}=57{,}00\ kPa
\sigma_{h0}=28{,}50\ kPa
\Delta\sigma_{v}=14{,}07\ kPa
\Delta\sigma_{h}=14{,}07\ kPa
\sigma_{v}=71{,}07\ kPa
\sigma_{h}=42{,}57\ kPa
\sigma_{h0}=28{,}50\ kPa
\Delta\sigma_{v}=14{,}07\ kPa
\Delta\sigma_{h}=14{,}07\ kPa
\sigma_{v}=71{,}07\ kPa
\sigma_{h}=42{,}57\ kPa