Foi aplicado no perfil abaixo uma sobrecarga de 1500 kN na superfície do terreno. Determine as tensões iniciais, os acréscimos de tensões devido à sobrecarga e as tensões finais no ponto A .

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar as tensões iniciais no ponto A.
  • Determinar os acréscimos de tensões no ponto A causados pela sobrecarga P.
  • Determinar as tensões finais no ponto A (inicial + acréscimo).
Informações relevantes dadas (peguei estes dados da figura enviada):
  • Sobrecarga na superfície: P = 1500\\ \text{kN}.
  • Distância vertical do ponto A até a superfície: z = 3\\ \text{m}.
  • Distância horizontal do ponto A ao eixo da carga: r = 3\\ \text{m}.
  • Distância radial (do ponto de aplicação da carga até A): R = 4{,}24\\ \text{m} (fornecida).
  • Peso específico do solo: \gamma = 19\\ \text{kN/m}^3.
  • Coeficiente de empuxo ao repouso: K_0 = 0{,}5.
  • Poisson (coeficiente de elasticidade transversal): \mu = 0{,}5.
O que precisamos encontrar explicitamente:
  • Tensões iniciais em A: vertical inicial \sigma_{v0} e horizontal inicial \sigma_{h0}.
  • Acréscimos de tensões em A devido a P: \Delta\sigma_v e \Delta\sigma_h.
  • Tensões finais em A: \sigma_v = \sigma_{v0} + \Delta\sigma_v e \sigma_h = \sigma_{h0} + \Delta\sigma_h.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vou usar (com explicação didática curta):
  • Tensão vertical inicial por sobrecarga da própria massa de solo: a tensão vertical efetiva, no nível de profundidade z, devido ao peso específico é simplesmente a pressão devida ao peso da coluna de solo acima desse ponto. Fórmula:
\sigma_{v0} = \gamma \, z,
onde \gamma é o peso específico ( \text{kN/m}^3) e z é a profundidade ( \text{m}). O resultado tem unidade \text{kN/m}^2 (que também chamamos de kPa).
  • Tensão horizontal inicial ao repouso: no estado a repouso (antes da sobrecarga), a tensão horizontal é dada por
\sigma_{h0} = K_0 \, \sigma_{v0},
onde K_0 é o coeficiente de empuxo ao repouso (número adimensional).
  • Acréscimo de tensão vertical devido a uma carga pontual na superfície: para um meio elástico semi-infinito a solução clássica de Boussinesq dá o acréscimo de tensão vertical em um ponto situado a profundidade z e deslocamento radial r pela fórmula:
\Delta\sigma_v \;=\; \dfrac{3P}{2\pi}\,\dfrac{z^{3}}{(r^{2}+z^{2})^{5/2}} \;=\; \dfrac{3P\,z^{3}}{2\pi R^{5}},
onde R=\sqrt{r^{2}+z^{2}}. Explicando: a fórmula mostra que quanto maior a profundidade o efeito diminui rapidamente (potência 5/2 no denominador), e a distribuição depende da geometria r,z.
  • Acréscimo de tensão horizontal: para estimar \Delta\sigma_h há várias formas (usar as fórmulas completas de Boussinesq/Cerruti para componentes horizontais ou aproximações elásticas). Aqui vou usar a aproximação elástica linear que relaciona incrementos de tensão horizontal ao incremento vertical via a razão \dfrac{\mu}{1-\mu} quando se assume deformação lateral restrita (situação comum em análises de acréscimos locais). Assim usarei:
\Delta\sigma_h \;=\; \dfrac{\mu}{1-\mu}\,\Delta\sigma_v.
Observação sobre escolha: escolhi esta forma porque o enunciado forneceu \mu e K_0, então é razoável usar Boussinesq para \Delta\sigma_v (padrão para carga pontual) e uma relação elástica simples para estimar \Delta\sigma_h. Para \mu=0{,}5 essa relação dá um fator simples (ver cálculo adiante). Se a prova exigisse as componentes horizontais exatas, usar-se-iam as fórmulas completas de Boussinesq/Cerruti para \Delta\sigma_r e \Delta\sigma_\theta; aqui a aproximação elástica é didática e prática para cálculo manual rápido.

Passo 3

Calcular as tensões iniciais (etapa passo a passo):
  • Calcular \sigma_{v0}:
\sigma_{v0} = \gamma\, z = 19\\ \text{kN/m}^3 \times 3\\ \text{m} = 57\\ \text{kN/m}^2 = 57\\ \text{kPa}.
Explanação: imagine uma coluna de solo de área unitária 1\\ \text{m}^2 e altura 3\\ \text{m}; seu peso é 19\times3=57\\ \text{kN}, portanto a pressão na base é 57\\ \text{kN}/1\\ \text{m}^2 = 57\\ \text{kPa}.
  • Calcular \sigma_{h0} usando K_0:
\sigma_{h0} = K_0\,\sigma_{v0} = 0{,}5 \times 57\\ \text{kPa} = 28{,}5\\ \text{kPa}.
Explicação: K_0 indica a proporção entre tensão horizontal e vertical no estado de repouso do solo.

Passo 4

Calcular o acréscimo de tensão vertical \Delta\sigma_v pela fórmula de Boussinesq (usar R fornecido):
  • Usar a fórmula
\Delta\sigma_v = \dfrac{3P\,z^{3}}{2\pi R^{5}}.
Substituindo valores (atenção às unidades: P em \text{kN}, comprimentos em \text{m}; o resultado fica em \text{kN/m}^2 = \text{kPa}):
  • Primeiro calcule z^{3} = 3^{3} = 27.
  • Já foi fornecido R = 4{,}24\\ \text{m}. Vou usar R = 4{,}242640687\\ \text{m} (valor exato \sqrt{18}) para precisão quando necessário; com R fornecido o resultado numérico fica praticamente o mesmo.
  • Calcule numericamente:
\Delta\sigma_v = \dfrac{3 \times 1500\\ \text{kN} \times 27}{2\pi \times (4{,}242640687)^{5}}.
Fazendo as contas (passo a passo):
  • Numerador: 3\times1500\times27 = 121500.
  • Denominador: 2\pi \times R^{5}. Calculando R^{5} = (4{,}242640687)^{5}\approx 1374{,}62.
  • Então 2\pi R^{5}\approx 6{,}2831853\times1374{,}62 \approx 8631{,}9.
  • Logo
\Delta\sigma_v \approx \dfrac{121500}{8631{,}9}\\ \text{kPa}\approx 14{,}07\\ \text{kPa}.
Interpretação: a sobrecarga pontual de 1500\\ \text{kN} produz um acréscimo de tensão vertical em A de aproximadamente 14{,}07\\ \text{kPa}.

Passo 5

Calcular o acréscimo de tensão horizontal \Delta\sigma_h pela relação elástica escolhida:
  • Relação adotada:
\Delta\sigma_h = \dfrac{\mu}{1-\mu}\,\Delta\sigma_v.
  • Substituindo \mu=0{,}5:
\dfrac{\mu}{1-\mu} = \dfrac{0{,}5}{1-0{,}5} = \dfrac{0{,}5}{0{,}5}=1.
  • Portanto para este valor de \mu temos
\Delta\sigma_h = 1 \times \Delta\sigma_v = \Delta\sigma_v \approx 14{,}07\\ \text{kPa}.
Comentário didático: com \mu=0{,}5 (solo praticamente incompressível), a aproximação usada faz com que o acréscimo horizontal seja numericamente igual ao acréscimo vertical neste modelo simples.

Passo 6

Calcular as tensões finais em A (inicial + acréscimo):
  • Tensão vertical final:
\sigma_v = \sigma_{v0} + \Delta\sigma_v = 57{,}00\\ \text{kPa} + 14{,}07\\ \text{kPa} = 71{,}07\\ \text{kPa}.
  • Tensão horizontal final:
\sigma_h = \sigma_{h0} + \Delta\sigma_h = 28{,}5\\ \text{kPa} + 14{,}07\\ \text{kPa} = 42{,}57\\ \text{kPa}.
Arredondando sensivelmente (duas casas decimais onde aplicável):
  • \sigma_{v0} = 57{,}00\\ \text{kPa}
  • \sigma_{h0} = 28{,}50\\ \text{kPa}
  • \Delta\sigma_v = 14{,}07\\ \text{kPa}
  • \Delta\sigma_h = 14{,}07\\ \text{kPa}
  • \sigma_v = 71{,}07\\ \text{kPa}
  • \sigma_h = 42{,}57\\ \text{kPa}

Resposta

\sigma_{v0}=57{,}00\ kPa
\sigma_{h0}=28{,}50\ kPa
\Delta\sigma_{v}=14{,}07\ kPa
\Delta\sigma_{h}=14{,}07\ kPa
\sigma_{v}=71{,}07\ kPa
\sigma_{h}=42{,}57\ kPa

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