Uma barra bi-engastada de alumínio encontra-se indeformada e livre de carregamento a uma temperatura de 28^{\circ} \mathrm{C}. Calcule a tensão normal desenvolvida ao longo da barra quando sua temperatura é elevada para 74^{\circ} \mathrm{C}. A tensão é de tração ou de compressão?
Dados: E_{a l}=70 \mathrm{GPa} e \alpha=2,3 \times 10^{-5}{ }^{\circ} C^{-1}

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Temperatura inicial T_i=28^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura final T_f=74^\circ\mathrm{C}.
    • Módulo de Young do alumínio E_{al}=70\\ \mathrm{GPa}.
    • Coeficiente de dilatação linear \alpha=2,3\times10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
    • A barra é bi-engastada (ambas as extremidades presas) e estava livre de tensões a T_i.
  • O que se pede:
    • Calcular a tensão normal desenvolvida na barra quando a temperatura sobe de 28^\circ\mathrm{C} para 74^\circ\mathrm{C}.
    • Dizer se essa tensão é de tração ou de compressão.

Passo 2

Entender a ideia física e a relação básica entre dilatação térmica e tensão quando a barra está impedida de deformar.
  • Se a barra estivesse livre para se deformar, a dilatação térmica livre (deformação térmica) valeria
\varepsilon_{\text{th}}=\alpha\,\Delta T,
onde:
  • \varepsilon_{\text{th}} é a deformação térmica (adimensional),
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear,
  • \Delta T=T_f-T_i é a variação de temperatura.
  • Como a barra é bi-engastada, ela não pode alongar. Ou seja, o alongamento total é zero:
\varepsilon_{\text{total}}=0.
A deformação total é soma da deformação térmica com a deformação mecânica imposta pelos engastes:
\varepsilon_{\text{total}}=\varepsilon_{\text{th}}+\varepsilon_{\text{mech}}=0.
Portanto a deformação mecânica necessária para anular a dilatação livre é
\varepsilon_{\text{mech}}=-\varepsilon_{\text{th}}=-\alpha\,\Delta T.

Passo 3

Relacionar deformação mecânica com tensão (Lei de Hooke para um material linear elástico).
  • Para uma barra em regime elástico linear, a tensão normal é
\sigma = E\,\varepsilon_{\text{mech}},
onde E é o módulo de Young e \varepsilon_{\text{mech}} a deformação mecânica. Substituindo \varepsilon_{\text{mech}}=-\alpha\Delta T obtemos a fórmula direta:
\sigma = -E\,\alpha\,\Delta T.
Explicação do sinal: o sinal negativo indica que a deformação mecânica é oposta à deformação térmica livre. Se \Delta T>0 (aquecimento), \varepsilon_{\text{th}}>0 e \varepsilon_{\text{mech}}<0, gerando uma tensão negativa segundo a convenção (tensão de compressão).

Passo 4

Calcular numericamente cada termo com unidades consistentes.
  • Variação de temperatura:
\Delta T = T_f-T_i = 74^\circ\mathrm{C}-28^\circ\mathrm{C}=46^\circ\mathrm{C}.
  • Converter E para Pascal:
E_{al}=70\\ \mathrm{GPa}=70\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}.
  • Calcular a deformação térmica (apenas para verificar):
\varepsilon_{\text{th}}=\alpha\,\Delta T = 2,3\times10^{-5}\times46 = 1,058\times10^{-3}.
(Isto é uma deformação de aproximadamente 0,1058\%.)

Passo 5

Calcular a tensão usando \sigma=-E\alpha\Delta T.
  • Primeiro calcule E\alpha:
E\alpha = \bigl(70\times10^{9}\bigr)\times\bigl(2,3\times10^{-5}\bigr) =70\times2,3\times10^{9-5}=161\times10^{4}=1{,}61\times10^{6}\\ \mathrm{Pa/^\circ C}.
  • Agora multiplica por \Delta T=46^\circ\mathrm{C}:
\sigma = -E\alpha\Delta T = -\bigl(1{,}61\times10^{6}\bigr)\times46 = -7{,}406\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}.
  • Em unidades práticas:
\sigma = -7{,}406\times10^{7}\\ \mathrm{Pa} \approx -74{,}06\\ \mathrm{MPa}.
Arredondando razoavelmente (dados têm 2–3 algarismos significativos), pode-se usar -74{,}1\\ \mathrm{MPa}.

Passo 6

Interpretação física do sinal (tração ou compressão).
  • O sinal negativo significa que a tensão é de compressão: a barra “quer” se alongar por aquecimento, mas as extremidades presas impedem esse alongamento, resultando em esforços que comprimem a barra internamente.
  • Portanto a tensão é de compressão com magnitude cerca de 74{,}1\\ \mathrm{MPa}.

Resposta

\sigma = -7{,}406\times10^{7}\\ \mathrm{Pa} \approx -74{,}1\\ \mathrm{MPa}
Compressão

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