Uma barra bi-engastada de alumínio encontra-se indeformada e livre de carregamento a uma temperatura de
. Calcule a tensão normal desenvolvida ao longo da barra quando sua temperatura é elevada para
. A tensão é de tração ou de compressão?
Dados:
e
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Temperatura inicial
. - Temperatura final
. - Módulo de Young do alumínio
. - Coeficiente de dilatação linear
. - A barra é bi-engastada (ambas as extremidades presas) e estava livre de tensões a
.
- Temperatura inicial
-
O que se pede:
- Calcular a tensão normal desenvolvida na barra quando a temperatura sobe de
para . - Dizer se essa tensão é de tração ou de compressão.
- Calcular a tensão normal desenvolvida na barra quando a temperatura sobe de
Passo 2
Entender a ideia física e a relação básica entre dilatação térmica e tensão quando a barra está impedida de deformar.
- Se a barra estivesse livre para se deformar, a dilatação térmica livre (deformação térmica) valeria
onde:
-
é a deformação térmica (adimensional), -
é o coeficiente de dilatação linear, -
é a variação de temperatura. -
Como a barra é bi-engastada, ela não pode alongar. Ou seja, o alongamento total é zero:
A deformação total é soma da deformação térmica com a deformação mecânica imposta pelos engastes:
Portanto a deformação mecânica necessária para anular a dilatação livre é
Passo 3
Relacionar deformação mecânica com tensão (Lei de Hooke para um material linear elástico).
- Para uma barra em regime elástico linear, a tensão normal é
onde
é o módulo de Young e
a deformação mecânica. Substituindo
obtemos a fórmula direta:
Explicação do sinal: o sinal negativo indica que a deformação mecânica é oposta à deformação térmica livre. Se
(aquecimento),
e
, gerando uma tensão negativa segundo a convenção (tensão de compressão).
Passo 4
Calcular numericamente cada termo com unidades consistentes.
- Variação de temperatura:
- Converter
para Pascal:
- Calcular a deformação térmica (apenas para verificar):
(Isto é uma deformação de aproximadamente
.)
Passo 5
Calcular a tensão usando
.
- Primeiro calcule
:
- Agora multiplica por
:
- Em unidades práticas:
Arredondando razoavelmente (dados têm 2–3 algarismos significativos), pode-se usar
.
Passo 6
Interpretação física do sinal (tração ou compressão).
- O sinal negativo significa que a tensão é de compressão: a barra “quer” se alongar por aquecimento, mas as extremidades presas impedem esse alongamento, resultando em esforços que comprimem a barra internamente.
- Portanto a tensão é de compressão com magnitude cerca de
.
Resposta
Compressão