Considerando que o alumínio 6061-T6 apresenta tensões admissíveis à tração e à compressão iguais a 184 MPa , determine o intervalo de temperaturas ao qual o elemento estrutural do exercício anterior pode ser submetido sem que ocorra falha do material. Admita que a peça é curta o suficiente para que não ocorra flambagem.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o intervalo de temperaturas ao qual o elemento estrutural pode ser submetido sem que ocorra falha do material, sabendo que para o alumínio 6061‑T6 a tensão admissível à tração e compressão é \,184\\ \text{MPa}\,, e que a peça é curta (sem flambagem).
Informações explicitamente dadas:
  • Tensão admissível: \,184\\ \text{MPa}.
Informações que deveriam vir do “exercício anterior” mas NÃO foram fornecidas e são necessárias para um cálculo numérico exato:
  • Se existe uma carga axial aplicada P (e seu sinal: tração positiva ou compressão positiva);
  • A área da secção transversal A (para obter a tensão de pre‑carga P/A);
  • A temperatura de referência T_{\rm ref} à qual o material está sem tensões térmicas (temperatura de montagem/zero de tensão);
  • Se as extremidades estão totalmente encastradas (impedem dilatação) — aqui vou assumir restrição que impede a deformação livre no eixo (caso contrário não se gera tensão térmica);
  • Propriedades do material necessárias: módulo de Young E e coeficiente de dilatação térmica linear \alpha (se não fornecidos, usa‑se valores típicos do alumínio 6061‑T6).
Como esses dados do exercício anterior não foram enviados, NÃO é possível fornecer um intervalo de temperatura numérico definitivo. A seguir eu mostro, passo a passo e didaticamente, como se resolve o problema quando os dados estiverem disponíveis, e dou um exemplo numérico usando valores típicos.

Passo 2

Conceitos e fórmulas fundamentais (aula rápida e prática):
  • Quando um corpo sofre uma variação de temperatura \Delta T e está livre para expandir, a dilatação linear livre é
\varepsilon_{\rm th}=\alpha\,\Delta T,
onde \alpha é o coeficiente de dilatação linear (unidade \,^\circ\text{C}^{-1}\,) e \Delta T=T-T_{\rm ref}.
  • Se a peça está presa de forma que a deformação total axial é zero (condição típica de peça “curta e presa”), a deformação mecânica necessária para anular a dilatação é
\varepsilon_{\rm mech}=-\varepsilon_{\rm th}=-\alpha\,\Delta T.
  • A tensão axial gerada por essa deformação mecânica (pela lei de Hooke) é
\sigma_{\rm th}=E\,\varepsilon_{\rm mech}=-E\,\alpha\,\Delta T,
onde E é o módulo de Young (unidade \text{MPa} ou \text{GPa}).
  • Se existir uma carga axial externa P aplicada (positiva para tração, negativa para compressão), ela gera uma tensão
\sigma_P=\frac{P}{A},
onde A é a área da seção transversal (unidade compatível com P e \sigma).
  • Por superposição (linearidade elástica), a tensão total no elemento é
\sigma_{\rm tot}=\sigma_P+\sigma_{\rm th}=\frac{P}{A}-E\,\alpha\,\Delta T.
  • Condição de segurança contra falha (admitindo que a admissível é simétrico tração/compressão):
|\sigma_{\rm tot}|\le 184\\ \text{MPa}.

Passo 3

Resolver a desigualdade para \Delta T. Começamos da condição
-184\le \frac{P}{A}-E\alpha\Delta T\le 184.
Subtraindo \dfrac{P}{A} de cada termo:
-184-\frac{P}{A}\le -E\alpha\Delta T\le 184-\frac{P}{A}.
Multiplicando por -1 (invertendo as desigualdades):
184+\frac{P}{A}\ge E\alpha\Delta T\ge -184+\frac{P}{A}.
Reordenando para ter o menor no lado esquerdo:
-184+\frac{P}{A}\le E\alpha\Delta T\le 184+\frac{P}{A}.
Finalmente, dividindo por E\alpha>0:
\boxed{\displaystyle \Delta T_{\min}=\frac{-184+\dfrac{P}{A}}{E\alpha} \quad\le\quad \Delta T \quad\le\quad \Delta T_{\max}=\frac{184+\dfrac{P}{A}}{E\alpha}.}
Interpretação prática:
  • \Delta T é a variação de temperatura relativa à temperatura de referência sem tensão T_{\rm ref}: \Delta T=T-T_{\rm ref}.
  • O intervalo absoluto de temperaturas permissíveis é
T_{\min}=T_{\rm ref}+\Delta T_{\min},\qquad T_{\max}=T_{\rm ref}+\Delta T_{\max}.

Passo 4

Explicação dos sinais e efeitos físicos (bem mastigado):
  • Se \Delta T>0 (aquecimento), o termo -E\alpha\Delta T é negativo → gera tensão compressiva. Portanto aquecer uma peça presa tende a colocá‑la em compressão.
  • Se houver uma pré‑tensão de tração ( P/A>0), essa tração se soma numericamente à tensão térmica; o intervalo de temperatura permissível desloca‑se para permitir mais compressão antes de atingir o limite de compressão, e reduz a margem para aumentar ainda mais a tração (ou seja, o intervalo fica assimétrico).
  • Se houver pré‑compressão ( P/A<0), isso tende a reduzir a margem para compressão adicional por aquecimento e aumenta a margem para tração por resfriamento.

Passo 5

Valores típicos para alumínio 6061‑T6 (se for aceitável usar valores usuais como exemplo):
  • E\approx 69\\ \text{GPa}=69{,}000\\ \text{MPa}.
  • \alpha\approx 23{,}6\times 10^{-6}\\ ^\circ\text{C}^{-1}.
Cálculo numérico de exemplo sem carga axial externa ( P=0):
  • Use a fórmula para \Delta T com \dfrac{P}{A}=0:
\Delta T_{\min}=-\frac{184}{E\alpha},\qquad \Delta T_{\max}=+\frac{184}{E\alpha}.
  • Substituindo E=69{,}000\\ \text{MPa} e \alpha=23{,}6\times 10^{-6}\\ ^\circ\text{C}^{-1}:
E\alpha = 69{,}000\cdot 23{,}6\times 10^{-6}=1{,}6284\\ \frac{\text{MPa}}{^\circ\text{C}}.
\frac{184}{E\alpha}=\frac{184}{1{,}6284}\approx 113{,}0\\ ^\circ\text{C}.
  • Resultado (exemplo, sem pré‑carga):
\Delta T\in[-113{,}0^\circ\text{C},\, +113{,}0^\circ\text{C}].
Ou, em termos de temperatura absoluta relativa à temperatura de referência T_{\rm ref},
T\in\bigl[T_{\rm ref}-113{,}0^\circ\text{C},\\ T_{\rm ref}+113{,}0^\circ\text{C}\bigr].
Exemplo numérico adicional: se T_{\rm ref}=20^\circ\text{C} (temperatura de montagem), então
T\in[-93{,}0^\circ\text{C},\\\ 133{,}0^\circ\text{C}].

Passo 6

Resumo prático de como você aplica isso na prova (passo a passo curto):
  1. Identifique se há pré‑carga axial P e meça/peça a área A. Calcule \dfrac{P}{A}.
  2. Pegue E e \alpha do alumínio 6061‑T6 (ou da tabela dada).
  3. Use a fórmula
\Delta T_{\min}=\frac{-184+\dfrac{P}{A}}{E\alpha},\qquad \Delta T_{\max}=\frac{184+\dfrac{P}{A}}{E\alpha}.
  1. Converta para temperatura absoluta com T_{\min}=T_{\rm ref}+\Delta T_{\min} e T_{\max}=T_{\rm ref}+\Delta T_{\max}.
  2. Verifique sinais: se precisar do intervalo simétrico sem P, coloque P=0.
Um comentário amigo e motivador: respira — a fórmula é simples e, se o enunciado te der P, A, T_{\rm ref}, E e \alpha, em 2 minutos você chega à resposta. Se quiser, me envie agora os dados que estavam no exercício anterior e eu já faço os cálculos numéricos pra você.

Resposta

Não é possível determinar numericamente o intervalo sem os dados do exercício anterior (em particular: carga axial P, área A da seção, e a temperatura de referência T_{\rm ref}). \n\nEm forma simbólica, a variação de temperatura permissível é\n \boxed{\displaystyle \Delta T_{\min}=\frac{-184+\dfrac{P}{A}}{E\alpha} \quad\le\quad \Delta T \quad\le\quad \Delta T_{\max}=\frac{184+\dfrac{P}{A}}{E\alpha},}\nonde \Delta T=T-T_{\rm ref}. \n\nExemplo (sem pré‑carga, P=0) usando E=69{,}000\\ \text{MPa} e \alpha=23{,}6\times10^{-6}\\ ^\circ\text{C}^{-1}:\n \Delta T\in[-113{,}0^\circ\text{C},\,+113{,}0^\circ\text{C}],\nisto é,\n T\in\bigl[T_{\rm ref}-113{,}0^\circ\text{C},\\ T_{\rm ref}+113{,}0^\circ\text{C}\bigr].

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