Uma barra de ferro homogênea de
é equilibrada em pé sobre uma superfície plana. Como este equilíbrio é instável, a barra começa a cair. Em uma situação teórica e ideal (sem atrito, abstrata, etc…), seria possível que a barra demorasse um ano para cair?
Passo 1
Beleza, vamos lá: o enunciado diz que temos uma barra homogênea de comprimento
, apoiada num ponto de contato em pé (equilíbrio totalmente instável) e ela começa a virar. A pergunta é: “numa situação ideal (sem atrito, sem vento, etc.), daria pra essa barra levar 1 ano inteiro pra cair?”
Conteúdo: dinâmica de rotação de corpo rígido, torque, momento de inércia e conservação de energia pra achar o tempo de queda. Vamos precisar
Conteúdo: dinâmica de rotação de corpo rígido, torque, momento de inércia e conservação de energia pra achar o tempo de queda. Vamos precisar
- Do momento de inércia da barra em relação à base:
. - Da equação que liga torque a aceleração angular:
. - De usar conservação de energia pra passar a integrar
e achar o tempo total de queda.
Passo 2
Equação de movimento:
- O torque devido ao peso, quando a barra faz ângulo
com a vertical, é
. - Aplicando
com , obtemos
Passo 3
Em vez de resolver direto essa EDO, usa-se conservação de energia entre o instante inicial
(muito pequenino) e um ângulo genérico
:
energia potencial perdida = energia cinética rotacional ganha
energia potencial perdida = energia cinética rotacional ganha
Dessa relação vem
Passo 4
O tempo para cair de
até
é
Quando
é muito pequeno, a maior parte do tempo se acumula bem no começo, e dá pra aproximar a integral assim:
- Para
também pequeno, . - Então
. - Substituindo e mudando variável, chega-se a
Aqui
é um fator da ordem de segundos (para
, dá uns
).
Passo 5
Se a gente quiser
ano (
s), basta achar
tal que
Isso dá
ou seja, um desvio inicial absurdamente minúsculo (praticamente zero).
Resposta
Sim, em teoria perfeita (sem perturbações), se o desvio inicial
for pequeno o bastante, o tempo de queda cresce como
, que pode ser arbitrariamente grande, chegando a 1 ano para um
extremamente ínfimo.