Uma barra de ferro homogênea de 1,80 m é equilibrada em pé sobre uma superfície plana. Como este equilíbrio é instável, a barra começa a cair. Em uma situação teórica e ideal (sem atrito, abstrata, etc…), seria possível que a barra demorasse um ano para cair?

Passo 1

Beleza, vamos lá: o enunciado diz que temos uma barra homogênea de comprimento , apoiada num ponto de contato em pé (equilíbrio totalmente instável) e ela começa a virar. A pergunta é: “numa situação ideal (sem atrito, sem vento, etc.), daria pra essa barra levar 1 ano inteiro pra cair?”
Conteúdo: dinâmica de rotação de corpo rígido, torque, momento de inércia e conservação de energia pra achar o tempo de queda. Vamos precisar
  • Do momento de inércia da barra em relação à base: .
  • Da equação que liga torque a aceleração angular: .
  • De usar conservação de energia pra passar a integrar e achar o tempo total de queda.

Passo 2

Equação de movimento:
  1. O torque devido ao peso, quando a barra faz ângulo ddottheta = tauI = m g (L/2)sintheta(1/3)mL^2 = 3g2L,sintheta com a vertical, é
    .
  2. Aplicando com , obtemos

Passo 3

Em vez de resolver direto essa EDO, usa-se conservação de energia entre o instante inicial m g ,L2l(costheta0 - costhetar) ;=; tfrac12,I,dottheta^2 ;=; tfrac12l(tfrac13mL^2r)dottheta^2 (muito pequenino) e um ângulo genérico dottheta =raiz3gL,l(costheta0 - costhetar) :
energia potencial perdida = energia cinética rotacional ganha
Dessa relação vem

Passo 4

O tempo para cair de t =integraltheta0^pi/2dthetadottheta =integraltheta0^pi/2 dthetaraiztfrac3gL,(costheta0-costheta) até t;approx;raizL3g;ln!l(4theta0r) é
Quando é muito pequeno, a maior parte do tempo se acumula bem no começo, e dá pra aproximar a integral assim:
  1. Para também pequeno, .
  2. Então .
  3. Substituindo e mudando variável, chega-se a
Aqui é um fator da ordem de segundos (para , dá uns ).

Passo 5

Se a gente quiser 0,35,ln!l(4theta0r) approx3,15times10^7 ano ( ln!l(tfrac4theta0r)approx9,0times10^7 Longrightarrow theta0approx4,e^-9,0times10^7, s), basta achar tal que
Isso dá
ou seja, um desvio inicial absurdamente minúsculo (praticamente zero).

Resposta

Sim, em teoria perfeita (sem perturbações), se o desvio inicial for pequeno o bastante, o tempo de queda cresce como , que pode ser arbitrariamente grande, chegando a 1 ano para um extremamente ínfimo.

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