Uma barra formada por duas partes cilíndricas AB e BC está impedida de se deslocar em ambas as extremidades. A parte AB é feita de latão ( E latão =103,4 GPaã e alpha latão =20,9 times 10^-6 / ^circ Cã) e a parte BC é feita de aço ( E aço =200 GPaç alpha aço =11,7 times 10^-6 / ^circ Cç). Sabendo que a barra está inicialmente livre de tensões, determine (a) as tensões normais nas partes AB e BC provocadas por um aumento de 32,2^circ C na temperatura e (b) o deslocamento correspondente do ponto B.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que a questão tá pedindo e que parte da matéria a gente vai usar.
Enunciado resumido:
– Temos uma barra composta por duas partes em série, AB de latão e BC de aço.
– As extremidades A e C estão engastadas (ou seja, não se mexem).
– A barra, inicialmente sem tensão, sofre um aumento de temperatura ΔT=32,2 °C.
O que queremos:
a) As tensões normais (σ_AB e σ_BC) geradas em cada parte;
b) O deslocamento do ponto B (que é a interface entre AB e BC).
Conteúdo que vamos usar:
  • Expansão térmica livre: ΔL_th = α L ΔT
  • Se uma barra está fixada, a expansão térmica gera tensão (σ) que se ajusta para anular o deslocamento total.
  • Condição de equilíbrio interno: força axial em AB = força axial em BC.
  • Condição de compatibilidade: o somatório das deformações (térmica + mecânica) leiaute deve dar deslocamento total zero, porque as extremidades não se movem.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar:
L_AB = comprimento da parte AB
L_BC = comprimento da parte BC
E_latão = 103,4 GPa, α_latão = 20,9×10⁻⁶/°C
E_aço = 200 GPa, α_aço = 11,7×10⁻⁶/°C
Se a barra fosse livre, cada trecho expandiria:
ΔL_th,AB = α_latão L_AB ΔT
ΔL_th,BC = α_aço L_BC ΔT
Mas como A e C estão fixos, aparecem tensões σ_AB e σ_BC. Essas tensões geram deformação mecânica em cada trecho:
ε_mech,AB = σ_AB/E_latão
ε_mech,BC = σ_BC/E_aço
E a deformação total em cada trecho é:
ε_tot,AB = ε_mech,AB + α_latão ΔT = σ_AB/E_latão + α_latão ΔT
ε_tot,BC = ε_mech,BC + α_aço ΔT = σ_BC/E_aço + α_aço ΔT

Passo 3

Condição de equilíbrio interno (forças iguais):
Se as áreas forem iguais (A_AB = A_BC), temos
σ_AB = σ_BC = σ (porque F = σ·A e A igual)
Condição de compatibilidade (deslocamento total = 0):
ΔL_AB + ΔL_BC = 0
⇔ ε_tot,AB·L_AB + ε_tot,BC·L_BC = 0
⇔ (σ/E_latão + α_latão ΔT)·L_AB + (σ/E_aço + α_aço ΔT)·L_BC = 0

Passo 4

Da equação acima isolamos σ:
(σ/E_latão)·L_AB + (σ/E_aço)·L_BC = –ΔT (α_latão L_AB + α_aço L_BC)
σ·(L_AB/E_latão + L_BC/E_aço) = –ΔT (α_latão L_AB + α_aço L_BC)
Como ΔT é positivo e as α são positivas, o lado direito é negativo, mostrando que σ é compressivo.
Portanto:
σ ;=; -,Deãçãç
E como σ_AB = σ_BC = σ, achamos as tensões normais em cada parte.

Passo 5

Agora o deslocamento do ponto B (em relação à posição original) é o deslocamento do fim de AB:
δB ;=; ΔLAB ;=; εtot,AB,LAB = l(σElatão + αlatão,ΔTr),LAB ãã
Note que esse δ_B será negativo (deslocamento para a esquerda) se σ for compressivo suficiente ou pode até ser positivo se a expansão térmica parcial superar a contração mecânica. Mas, no nosso caso das duas extremidades fixas, o δ_B que calculamos acima satisfaz exatamente δ_AB+δ_BC=0.

Resposta

(a) As tensões normais em AB e BC são iguais e valem
boxed σAB ;=; σBC ;=; -, ΔT,l(αlatão,LAB+αaço,LBCr) dfracLABElatão+dfracLBCEaço ãçãç
(b) O deslocamento do ponto B é
boxed δB ;=;l(tfracσElatão+αlatão,ΔTr),LAB ãã
Onde σ é dado pela fórmula acima.

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