Uma barra homogênea de comprimento L=2m e massa M=4 k g tem uma densidade linear de massa variável, dada por lambda(x)=k x(kg / m), onde x é medido a partir de uma das extremidades da barra. Determine a posição do centro de massa.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem uma barra de comprimento L = 2 m e massa total M = 4 kg, mas a densidade não é constante: ela varia como
,
sendo a distância medida a partir de uma das extremidades. O que a gente quer é a posição do centro de massa dessa barra.
Conteúdo envolvido:
  • Definição de massa total via integração da densidade linear
  • Definição de centro de massa para corpo contínuo
  • Cálculo de integrais simples

Passo 2

Primeiro, a gente lembra da teoria:
  1. A massa total é
M = integral0^L lambda(x),dx
  1. O centro de massa (distância a partir da extremidade xrm cm ;=;1Mintegral0^L x,dm com dm = lambda(x),dx ) é
Então vamos primeiro achar a constante usando a condição kg, e depois calcular .

Passo 3

Calcular M = integral0^L lambda(x),dx = integral0^2 (k,x),dx = kintegral0^2 x,dx = k;x^22|0^2 = k;2^22 = 2k a partir de
2k = 4 Rightarrow k = 2;rm kg/m^2
Como , dá

Passo 4

Agora o centro de massa:
xrm cm = 1Mintegral0^L x,dm = 1Mintegral0^2 x,[lambda(x),dx] = 14integral0^2 x,(k,x),dx = k4integral0^2 x^2,dx
Substituindo xrm cm = 24integral0^2 x^2,dx = tfrac12;x^33|0^2 = tfrac12;2^33 = tfrac12;83 = 86 = 43 rm m :

Resposta

A posição do centro de massa está em m a partir da extremidade onde .

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