Uma barra homogênea de massa M e comprimento L está livre para girar em torno de um eixo horizontal que passa, perpendicularmente, a uma distância x do seu centro, cf. mostra a figura. Determine para que valor de x o período é mínimo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma barra homogênea com massa e comprimento que pode girar em torno de um eixo horizontal deslocado uma distância do centro dela. Nosso objetivo é descobrir qual valor de faz com que o período de oscilação dessa barra seja o menor possível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de momento de inércia e período de oscilações rotacionais.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o momento de inércia da barra em relação ao eixo de rotação. O momento de inércia é uma medida de como a massa está distribuída em relação ao eixo e afeta a facilidade com que um objeto pode girar.
A fórmula para o momento de inércia de uma barra homogênea girando em torno de seu centro é:
Icentro = 112 M L^2
Como o eixo não está passando pelo centro, usamos o Teorema de Steiner para ajustar o momento de inércia em relação ao novo eixo:
I = Icentro + M x^2 = 112 M L^2 + M x^2

Passo 3

Agora, vamos determinar o período de oscilação da barra. O período T = 2pi raizIM g h é o tempo que a barra leva para completar uma oscilação completa.
A fórmula do período para oscilações rotacionais é:
T = 2pi raiz112 M L^2 + M x^2M g x = 2pi raizL^212 g x + xg
onde:
  • é o momento de inércia,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é a distância do eixo de rotação até o centro de massa. Neste caso, .
Substituindo na fórmula do período:

Passo 4

Para encontrar o valor de T^2 = 4pi^2 ( L^212 g x + xg ) que minimiza o período f(x) = L^212 x + x , é mais fácil trabalhar com :
Vamos focar na parte que depende de :

Passo 5

Para minimizar dfdx = -L^212 x^2 + 1 = 0 , derivamos em relação a -L^212 x^2 + 1 = 0 L^212 x^2 = 1 x^2 = L^212 x = L2raiz3 e igualamos a zero:
Resolvendo para :

Resposta

O período é mínimo quando a distância do eixo de rotação ao centro da barra é .

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