Uma barra homogênea de massa
e comprimento
está livre para girar em torno de um eixo horizontal que passa, perpendicularmente, a uma distância
do seu centro, cf. mostra a figura. Determine para que valor de
o período é mínimo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma barra homogênea com massa
e comprimento
que pode girar em torno de um eixo horizontal deslocado uma distância
do centro dela. Nosso objetivo é descobrir qual valor de
faz com que o período de oscilação dessa barra seja o menor possível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de momento de inércia e período de oscilações rotacionais.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular o momento de inércia da barra em relação ao eixo de rotação. O momento de inércia é uma medida de como a massa está distribuída em relação ao eixo e afeta a facilidade com que um objeto pode girar.
A fórmula para o momento de inércia de uma barra homogênea girando em torno de seu centro é:
Como o eixo não está passando pelo centro, usamos o Teorema de Steiner para ajustar o momento de inércia em relação ao novo eixo:
Passo 3
Agora, vamos determinar o período de oscilação da barra. O período
é o tempo que a barra leva para completar uma oscilação completa.
A fórmula do período para oscilações rotacionais é:
onde:
-
é o momento de inércia, -
é a aceleração da gravidade, -
é a distância do eixo de rotação até o centro de massa. Neste caso, .
Substituindo
na fórmula do período:
Passo 4
Para encontrar o valor de
que minimiza o período
, é mais fácil trabalhar com
:
Vamos focar na parte que depende de
:
Passo 5
Para minimizar
, derivamos em relação a
e igualamos a zero:
Resolvendo para
:
Resposta
O período é mínimo quando a distância
do eixo de rotação ao centro da barra é
.