Em uma viga horizontal, são pendurados 5 pêndulos simples com os seguintes comprimentos: a) 0,3 m; b) 0,4 m; c) 0,8 m; d) 1,2 m; e) 2,8 m. Em certo momento, a viga passa a sofrer oscilações horizontais com frequências angulares entre 2 e 4 rad / s. Quais dos 5 pêndulos acima entram fortemente em vibração? Justifique!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma viga horizontal com 5 pêndulos de diferentes comprimentos pendurados nela. A viga começa a oscilar com frequências angulares entre e . Nosso objetivo aqui é descobrir quais desses pêndulos vão entrar fortemente em vibração, ou seja, quais vão ressoar com as oscilações da viga. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a frequência natural dos pêndulos e comparar com as frequências que a viga está oscilando.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da frequência angular natural ( omega = raizgL ) de um pêndulo simples. Ela é dada por:
onde:
  • é a aceleração da gravidade ( ),
  • é o comprimento do pêndulo.
Essa frequência natural é a frequência com a qual o pêndulo tende a oscilar quando não há forças externas atuando sobre ele.

Passo 3

Agora, vamos calcular a frequência angular natural para cada um dos cinco pêndulos usando a fórmula acima.
a) omega = raiz9,80,3 approx raiz32,6667 approx 5,716 rad/s :
omega = raiz9,80,4 approx raiz24,5 approx 4,95 rad/s
b) omega = raiz9,80,8 approx raiz12,25 approx 3,5 rad/s :
omega = raiz9,81,2 approx raiz8,1667 approx 2,86 rad/s
c) omega = raiz9,82,8 approx raiz3,5 approx 1,87 rad/s :
d) :
e) :

Passo 4

Agora que temos as frequências naturais de cada pêndulo, vamos comparar com as frequências angulares com as quais a viga está oscilando, que estão entre e .
  • Pêndulo a: — fora do intervalo.
  • Pêndulo b: — ligeiramente acima do intervalo.
  • Pêndulo c: — dentro do intervalo.
  • Pêndulo d: — dentro do intervalo.
  • Pêndulo e: — ligeiramente abaixo do intervalo.

Passo 5

Os pêndulos que têm frequência natural dentro do intervalo de a são os pêndulos c e d. Isso significa que esses dois pêndulos vão entrar fortemente em vibração quando a viga oscilar nessa faixa de frequências angulares, devido ao fenômeno de ressonância, onde a frequência externa coincide com a natural do sistema, amplificando as oscilações.

Resposta

Os pêndulos c ( ) e d ( ) entram fortemente em vibração, pois suas frequências naturais estão dentro do intervalo de a das oscilações da viga.

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