Em uma viga horizontal, são pendurados 5 pêndulos simples com os seguintes comprimentos: a)
; b)
; c)
; d)
; e)
. Em certo momento, a viga passa a sofrer oscilações horizontais com frequências angulares entre 2 e
. Quais dos 5 pêndulos acima entram fortemente em vibração? Justifique!
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma viga horizontal com 5 pêndulos de diferentes comprimentos pendurados nela. A viga começa a oscilar com frequências angulares entre
e
. Nosso objetivo aqui é descobrir quais desses pêndulos vão entrar fortemente em vibração, ou seja, quais vão ressoar com as oscilações da viga. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a frequência natural dos pêndulos e comparar com as frequências que a viga está oscilando.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da frequência angular natural (
) de um pêndulo simples. Ela é dada por:
onde:
-
é a aceleração da gravidade ( ), -
é o comprimento do pêndulo.
Essa frequência natural é a frequência com a qual o pêndulo tende a oscilar quando não há forças externas atuando sobre ele.
Passo 3
Agora, vamos calcular a frequência angular natural para cada um dos cinco pêndulos usando a fórmula acima.
a)
:
b)
:
c)
:
d)
:
e)
:
Passo 4
Agora que temos as frequências naturais de cada pêndulo, vamos comparar com as frequências angulares com as quais a viga está oscilando, que estão entre
e
.
- Pêndulo a:
— fora do intervalo. - Pêndulo b:
— ligeiramente acima do intervalo. - Pêndulo c:
— dentro do intervalo. - Pêndulo d:
— dentro do intervalo. - Pêndulo e:
— ligeiramente abaixo do intervalo.
Passo 5
Os pêndulos que têm frequência natural dentro do intervalo de
a
são os pêndulos c e d. Isso significa que esses dois pêndulos vão entrar fortemente em vibração quando a viga oscilar nessa faixa de frequências angulares, devido ao fenômeno de ressonância, onde a frequência externa coincide com a natural do sistema, amplificando as oscilações.
Resposta
Os pêndulos c (
) e d (
) entram fortemente em vibração, pois suas frequências naturais estão dentro do intervalo de
a
das oscilações da viga.