Uma barra que não é homogênea tem o comprimento
e está sobre o eixo x do sistema de coordenadas. Uma ponta está na origem e a outra ponta se encontra na região positiva desse eixo. A densidade linear de massa da barra é
e é dada por
, onde
é uma constante com dimensão apropriada para que
seja uma densidade linear.
Calcule o vetor campo gravitacional da barra no ponto
do eixo
, com
(16 pontos).
Calcule o vetor campo gravitacional da barra no ponto
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que tá rolando. A gente tem uma barra de 0 até L sobre o eixo x, não homogênea, com densidade linear
e quer o campo gravitacional no ponto
(que fica à direita da barra, já que
).
Matéria envolvida:
Matéria envolvida:
- Lei da gravitação universal no formato de campo (
). - Superposição de um contínuo de massas via integral.
- Noção de densidade linear
.
O que vamos precisar: expressar um dm em função de, usar , montar a integral de a e resolver.
Passo 2
Escolhendo um pedacinho de barra entre
e
:
– A massa desse pedaço é
– A massa desse pedaço é
– A distância do ponto
até nosso ponto de observação
é
– O vetor unitário que vai do pedaço de massa até
é
apontando pra direita, mas como a gravidade atrai, o campo tem sinal contrário:
Passo 3
Agora substituímos
e
em
:
Repara que
, então o quociente fica 1 e a expressão simplifica para
Sem dependência de
no integrando!
Passo 4
Integramos de
até
:
Resposta
Ou seja, o campo aponta pro lado negativo de
com módulo
.