Uma barra que não é homogênea tem o comprimento L e está sobre o eixo x do sistema de coordenadas. Uma ponta está na origem e a outra ponta se encontra na região positiva desse eixo. A densidade linear de massa da barra é lambda(x) e é dada por lambda=C(x-x0)^2, onde C é uma constante com dimensão apropriada para que lambda seja uma densidade linear.
Calcule o vetor campo gravitacional da barra no ponto x0 do eixo x, com x0>L (16 pontos).

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que tá rolando. A gente tem uma barra de 0 até L sobre o eixo x, não homogênea, com densidade linear
lambda(x)=C,(x - x0)^2
e quer o campo gravitacional no ponto (que fica à direita da barra, já que ).
Matéria envolvida:
  1. Lei da gravitação universal no formato de campo ( ).
  2. Superposição de um contínuo de massas via integral.
  3. Noção de densidade linear .
    O que vamos precisar: expressar um dm em função de , usar , montar a integral de a e resolver.

Passo 2

Escolhendo um pedacinho de barra entre dm = lambda(x),dx = C,(x - x0)^2,dx e r = |x0 - x| = x0 - x (pois x0>L>= x) :
– A massa desse pedaço é
dvec g = -,G,dmr^2,hatimath
– A distância do ponto até nosso ponto de observação é
– O vetor unitário que vai do pedaço de massa até é apontando pra direita, mas como a gravidade atrai, o campo tem sinal contrário:

Passo 3

Agora substituímos dvec g = -,G,C,(x - x0)^2,dx(x0 - x)^2,hatimath e dvec g = -,G,C,dx,hatimath em :
Repara que , então o quociente fica 1 e a expressão simplifica para
Sem dependência de no integrando!

Passo 4

Integramos de vec g(x0) = integral0^L dvec g = integral0^L l(-G,C,hatimathr),dx = -,G,C,hatimath integral0^Ldx = -,G,C,L,hatimath até :

Resposta

boxedvec g(x0) = -,G,C,L,hatimath
Ou seja, o campo aponta pro lado negativo de com módulo .

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