Uma barra que não é homogênea tem o comprimento
e está sobre o eixo x do sistema de coordenadas. Uma ponta está na origem e a outra ponta se encontra na região positiva desse eixo. A densidade linear de massa da barra é
e é dada por
, onde
é uma constante com dimensão apropriada para que
seja uma densidade linear.
Calcule a massa da barra em função das constantes
e
( 10 pontos).
Calcule a massa da barra em função das constantes
Passo 1
Beleza, cara! A gente tem uma barra de comprimento L sobre o eixo x, começando em x=0 e terminando em x=L. A densidade linear varia com a posição:
O que a questão pede é a massa total da barra em função de
,
e
. Matéria envolvida: cálculo integral (integração de funções polinomiais). Pra resolver, a gente vai usar a ideia de que massa é integral da densidade ao longo do comprimento.
Passo 2
Primeiro, lembra que massa é
Como a barra vai de
até
, definimos
Passo 3
Pra integrar
, podemos tirar a constante
pra fora:
Agora usamos a regra da potência: se
, então
e
Passo 4
Voltando a
, a antiderivada de
é
Então o integral definido fica
Passo 5
Só falta simplificar aquele “
” que dá
, e
. Logo
Como tínhamos fator
na frente, finalmente: