Uma barra que não é homogênea tem o comprimento L e está sobre o eixo x do sistema de coordenadas. Uma ponta está na origem e a outra ponta se encontra na região positiva desse eixo. A densidade linear de massa da barra é lambda(x) e é dada por lambda=C(x-x0)^2, onde C é uma constante com dimensão apropriada para que lambda seja uma densidade linear.
Calcule a massa da barra em função das constantes C, x0 e L ( 10 pontos).

Passo 1

Beleza, cara! A gente tem uma barra de comprimento L sobre o eixo x, começando em x=0 e terminando em x=L. A densidade linear varia com a posição:
lambda(x) = C,(x - x0)^2
O que a questão pede é a massa total da barra em função de , e . Matéria envolvida: cálculo integral (integração de funções polinomiais). Pra resolver, a gente vai usar a ideia de que massa é integral da densidade ao longo do comprimento.

Passo 2

Primeiro, lembra que massa é
M = integralbarra lambda(x),dx
Como a barra vai de M = integral0^L lambda(x),dx = integral0^L C,(x - x0)^2 ,dx até , definimos

Passo 3

Pra integrar M = C integral0^L (x - x0)^2 ,dx , podemos tirar a constante integral u^2,du = u^33 pra fora:
Agora usamos a regra da potência: se , então e

Passo 4

Voltando a integral (x - x0)^2 ,dx = (x - x0)^33 , a antiderivada de integral0^L (x - x0)^2 ,dx = [(x - x0)^33]0^L = (L - x0)^33 ;-; (0 - x0)^33 é
Então o integral definido fica

Passo 5

Só falta simplificar aquele “ (L - x0)^33 ;-; (-x0)^33 = (L - x0)^33 ;-; l(-tfracx0^33r) = (L - x0)^3 + x0^33 ” que dá , e . Logo
Como tínhamos fator na frente, finalmente:

Resposta

boxedM = C3,l[(L - x0)^3 + x0^3r]

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