Para a barra 1 que possui uma área de seção transversal de 400 \mathrm{~mm}^{2} e comprimento de 800 mm , determine:
a) A carga axial atuante ( F_{1} ).
b) A tensão normal atuante ( \sigma_{1} ).
c) O alongamento \left(\Delta \mathrm{I}_{1}\right).
d) A deformação longitudinal ( \varepsilon_{1} ).
e) A deformação longitudinal \left(\varepsilon_{t}\right).
Considero o módulo de elasticidade de 210 GPa e o coeficiente de Poisson de 0,3.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado e a figura nos dão (peguei estes números da imagem enviada e os dados do enunciado):
  • Dados do enunciado:
    • Área da seção transversal da barra 1: A=400\\ \mathrm{mm}^{2}.
    • Comprimento da barra 1: L=800\\ \mathrm{mm}.
    • Módulo de elasticidade: E=210\\ \mathrm{GPa}.
    • Coeficiente de Poisson: \nu=0{,}3.
  • Dados extraídos da imagem (peguei estes valores da figura):
    • Há uma viga apoiada em A (esquerda) e ligada ao final direito B à barra 1 (que vai para o teto em C).
    • Sobre a viga atua uma carga vertical para baixo de 20\\ \mathrm{kN} localizada a 2{,}0\\ \mathrm{m} de A.
    • As distâncias ao longo da viga, da esquerda para a direita, são 2{,}0\\ \mathrm{m}, depois 3{,}0\\ \mathrm{m}, depois 3{,}0\\ \mathrm{m} (portanto o comprimento total da viga entre A e B é 8{,}0\\ \mathrm{m}).
    • Existe uma força horizontal de 6\\ \mathrm{kN} atuando no topo de um pilar curto a 1{,}5\\ \mathrm{m} de altura (essa força é horizontal).
    • A barra 1 (vertical em B) transmite a reação vertical no ponto B até o teto em C.
O que o problema pede para a barra 1:
(a) F_{1} (carga axial atuante);
(b) \sigma_{1} (tensão normal);
(c) \Delta L_{1} (alongamento);
(d) \varepsilon_{1} (deformação longitudinal);
(e) \varepsilon_{t} (deformação transversal).

Passo 2

Determinar a força axial F_{1}. Observação: a força axial na barra 1 é simplesmente a reação vertical no ponto B da viga (a barra está vertical e só transmite força vertical). Para encontrar a reação em B usamos equilíbrio da viga (forças verticais e momento). Vou usar o sistema SI, convertendo unidades quando necessário.
Equilíbrio de momentos em A (positivo sentido horário) para achar R_B (reação vertical em B):
\sum M_A = 0 \quad\Rightarrow\quad R_B\cdot 8{,}0 - 20{,}0\cdot 2{,}0 = 0.
Logo
R_B = \dfrac{20{,}0\cdot 2{,}0}{8{,}0} = 5{,}0\\ \mathrm{kN}.
Verificação por soma de forças verticais:
\sum F_y = 0 \quad\Rightarrow\quad R_A + R_B - 20{,}0 = 0 \\ \Rightarrow\\ R_A = 15{,}0\\ \mathrm{kN},
o que é coerente. Portanto a força axial na barra 1 é
F_1 = R_B = 5{,}0\\ \mathrm{kN}.

Passo 3

Calcular a tensão normal \sigma_{1} usando a definição de tensão média:
\sigma = \dfrac{F}{A}.
Primeiro converter a área para metros quadrados: A=400\\ \mathrm{mm}^2 = 400\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^2 = 4{,}0\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2.
Converter F_1 para newtons: F_1=5{,}0\\ \mathrm{kN}=5000\\ \mathrm{N}.
Agora:
\sigma_1=\dfrac{5000}{4{,}0\times 10^{-4}}=12{,}5\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa}=12{,}5\\ \mathrm{MPa}.

Passo 4

Calcular o alongamento \Delta L_{1} usando a lei de Hooke para um corpo de seção constante:
\Delta L = \dfrac{F\,L}{A\,E}.
Converter L e E para unidades SI:
  • L=800\\ \mathrm{mm}=0{,}800\\ \mathrm{m}.
  • E=210\\ \mathrm{GPa}=210\times 10^{9}\\ \mathrm{Pa}.
Substituindo:
\Delta L_{1}=\dfrac{5000\cdot 0{,}800}{4{,}0\times 10^{-4}\cdot 210\times 10^{9}}.
Calcule passo a passo:
\text{denominador}=4{,}0\times 10^{-4}\cdot 210\times 10^{9}=84{,}0\times 10^{6}=8{,}4\times 10^{7}.
\Delta L_{1}=\dfrac{4000}{8{,}4\times 10^{7}}=4{,}7619\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}.
Em milímetros:
\Delta L_{1}=4{,}7619\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}=0{,}04762\\ \mathrm{mm}\\ (\text{aprox. }0{,}0476\\ \mathrm{mm}).

Passo 5

Calcular a deformação longitudinal \varepsilon_{1}. Duas formas equivalentes: \varepsilon=\dfrac{\Delta L}{L} ou \varepsilon=\dfrac{\sigma}{E}. Usarei \varepsilon=\dfrac{\sigma}{E}.
Converter E e \sigma para as mesmas unidades:
\varepsilon_{1}=\dfrac{12{,}5\times 10^{6}}{210\times 10^{9}}=5{,}9524\times 10^{-5}.
Arredondando:
\varepsilon_{1}\approx 5{,}95\times 10^{-5}.

Passo 6

Calcular a deformação transversal (lateral) \varepsilon_{t}. Pela definição de coeficiente de Poisson:
\varepsilon_{t}=-\nu\,\varepsilon_{1}.
Substituindo \nu=0{,}3 e \varepsilon_{1}=5{,}9524\times 10^{-5}:
\varepsilon_{t}=-0{,}3\times 5{,}9524\times 10^{-5}=-1{,}7857\times 10^{-5}.
Arredondando:
\varepsilon_{t}\approx -1{,}79\times 10^{-5}.

Resposta

a) F_{1}=5{,}0\\ \mathrm{kN}
b) \sigma_{1}=12{,}5\\ \mathrm{MPa}
c) \Delta L_{1}=0{,}0476\\ \mathrm{mm}
d) \varepsilon_{1}=5{,}95\times 10^{-5}
e) \varepsilon_{t}=-1{,}79\times 10^{-5}

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