Durante o dimensionamento de uma fundação superficial, um engenheiro precisa estimar o acréscimo de tensão vertical no solo provocado pelo carregamento transmitido por uma sapata corrida. Dados:
  • Largura da sapata: \mathrm{B}=5,0 \mathrm{~m};
  • Tensão uniformemente distribuída: \mathrm{q}=9,0 \mathrm{tf} / \mathrm{m}^{2} ;
  • Profundidade do ponto analisado: \mathrm{z}=4,5 \mathrm{~m};
  • Considerar o ponto localizado no eixo longitudinal da fundação (eixo y).
    Determine o acréscimo de tensão vertical no ponto indicado devido ao carregamento da sapata. Apresente o desenvolvimento do cálculo utilizado.

Passo 1

O que o problema pede:
  • Determinar o acréscimo da tensão vertical no solo no ponto indicado (no eixo longitudinal da sapata), a uma profundidade \,z\,, devido ao carregamento uniformemente distribuído pela sapata.
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado / da figura):
  • Largura da sapata: \,B=5,0\\ \mathrm{m}.
  • Tensão uniformemente distribuída sobre a sapata: \,q=9,0\\ \mathrm{tf}/\mathrm{m}^{2}.
  • Profundidade do ponto analisado: \,z=4,5\\ \mathrm{m}.
  • O ponto está localizado no eixo longitudinal da fundação (isto é, diretamente abaixo do centro da sapata, ao longo do comprimento).
Objetivo numérico: calcular \,\Delta\sigma_{z} no ponto a \,z=4,5\\ \mathrm{m}, em unidades de \mathrm{tf}/\mathrm{m}^{2}.

Passo 2

Modelo físico e fórmula que vamos usar (explicação didática).
  • Como a sapata é uma sapata corrida (comprimento muito maior que a largura), é aceitável aproximá‑la por uma faixa de carregamento de comprimento infinito (modelo 2D por unidade de comprimento). Assim tratamos o carregamento como uma distribuição uniforme \,q sobre a faixa de largura \,B, e consideramos a tensão vertical ao longo de uma linha abaixo do centro (eixo y).
  • A solução elástica bidimensional (conhecida como solução para meio semi-infinito sob uma linha carregada — resultado de Flamant / versão 2D do problema de Boussinesq) dá a contribuição da pressão superficial de uma faixa uniformemente carregada sobre a tensão vertical a uma profundidade \,z no eixo central. O resultado final, que pode ser obtido integrando a função de influência ao longo da largura, é:
\Delta\sigma_{z}= \dfrac{2\,q}{\pi}\,\arctan\!\left(\dfrac{B}{2z}\right).
  • O que significa cada símbolo:
    • \,\Delta\sigma_{z} = acréscimo da tensão vertical no ponto a profundidade \,z (unidade: \mathrm{tf}/\mathrm{m}^{2} neste problema).
    • \,q = pressão uniformemente distribuída aplicada à superfície ( \mathrm{tf}/\mathrm{m}^{2}).
    • \,B = largura da sapata ( \mathrm{m}).
    • \,z = profundidade do ponto onde se calcula a tensão ( \mathrm{m}).
    • \,\arctan é a função arco-tangente (retorna valor em radianos).
Breve justificativa da fórmula (passos de integração, conceitual):
  • Imagine a faixa carregada entre x=-B/2 e x=+B/2. Tome uma faixa infinitesimal de largura \,dx' em x'. Essa faixa aplica, por unidade de comprimento em y, uma força \,q\,dx'.
  • A influência (função kernel) de uma faixa infinitesimal sobre a tensão vertical em um ponto a profundidade z abaixo do centro é proporcional a \dfrac{z}{\pi(x'^2+z^2)} (essa expressão vem da solução elástica 2D para uma carga linear na superfície).
  • Integrando essa contribuição de x'=-B/2 até x'=+B/2 obtém‑se, após simplificação, exatamente a expressão mostrada acima. (A integração básica usada é \int \dfrac{dx'}{x'^2+z^2} = \dfrac{1}{z}\arctan\!\left(\dfrac{x'}{z}\right).)

Passo 3

Substituição numérica e cálculo passo a passo.
  • Primeiro calcule o argumento da arco‑tangente:
\dfrac{B}{2z}=\dfrac{5,0}{2\cdot 4,5}=\dfrac{5,0}{9,0}=0,555\overline{5}.
  • Agora a arco‑tangente (em radianos):
\arctan\!\left(0,555\overline{5}\right)\approx 0,506145\\ \text{rad}.
  • Multiplicador de influência:
I=\dfrac{2}{\pi}\,\arctan\!\left(\dfrac{B}{2z}\right)=\dfrac{2}{\pi}\cdot 0,506145\approx 0,3223.
  • Finalmente o acréscimo de tensão:
\Delta\sigma_{z}=q\cdot I=9,0\cdot 0,3223\approx 2,9007\\ \mathrm{tf}/\mathrm{m}^{2}.
Arredondando de forma prática para dois algarismos significativos após a vírgula:
\Delta\sigma_{z}\approx 2,90\\ \mathrm{tf}/\mathrm{m}^{2}.

Passo 4

Verificação rápida de coerência:
  • Se \,z\to 0, então \dfrac{B}{2z}\to\infty e \arctan(\infty)=\tfrac{\pi}{2}. Assim I=(2/\pi)\cdot(\pi/2)=1 e \Delta\sigma_{z}\to q, ou seja, na superfície a tensão vertical sob a sapata é igual à pressão aplicada — isso é fisicamente coerente.
  • O valor encontrado ( \approx 2,90\\ \mathrm{tf}/\mathrm{m}^{2}) é uma fração de q=9,0\\ \mathrm{tf}/\mathrm{m}^{2} porque o ponto está a uma profundidade relativamente grande ( z=4,5\\ \mathrm{m}) comparada com a largura B=5,0\\ \mathrm{m}.

Resposta

\Delta\sigma_{z}\approx 2,90\\ \mathrm{tf}/\mathrm{m}^{2}

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