Durante o dimensionamento de uma fundação superficial, um engenheiro precisa estimar o acréscimo de tensão vertical no solo provocado pelo carregamento transmitido por uma sapata corrida. Dados:
- Largura da sapata:
;
- Tensão uniformemente distribuída:
- Profundidade do ponto analisado:
;
- Considerar o ponto localizado no eixo longitudinal da fundação (eixo y).
Determine o acréscimo de tensão vertical no ponto indicado devido ao carregamento da sapata. Apresente o desenvolvimento do cálculo utilizado.
Determine o acréscimo de tensão vertical no ponto indicado devido ao carregamento da sapata. Apresente o desenvolvimento do cálculo utilizado.
Passo 1
O que o problema pede:
- Determinar o acréscimo da tensão vertical no solo no ponto indicado (no eixo longitudinal da sapata), a uma profundidade
, devido ao carregamento uniformemente distribuído pela sapata.
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado / da figura):
- Largura da sapata:
. - Tensão uniformemente distribuída sobre a sapata:
. - Profundidade do ponto analisado:
. - O ponto está localizado no eixo longitudinal da fundação (isto é, diretamente abaixo do centro da sapata, ao longo do comprimento).
Objetivo numérico: calcular
no ponto a
, em unidades de
.
Passo 2
Modelo físico e fórmula que vamos usar (explicação didática).
- Como a sapata é uma sapata corrida (comprimento muito maior que a largura), é aceitável aproximá‑la por uma faixa de carregamento de comprimento infinito (modelo 2D por unidade de comprimento). Assim tratamos o carregamento como uma distribuição uniforme
sobre a faixa de largura , e consideramos a tensão vertical ao longo de uma linha abaixo do centro (eixo ). - A solução elástica bidimensional (conhecida como solução para meio semi-infinito sob uma linha carregada — resultado de Flamant / versão 2D do problema de Boussinesq) dá a contribuição da pressão superficial de uma faixa uniformemente carregada sobre a tensão vertical a uma profundidade
no eixo central. O resultado final, que pode ser obtido integrando a função de influência ao longo da largura, é:
- O que significa cada símbolo:
-
= acréscimo da tensão vertical no ponto a profundidade (unidade: neste problema). -
= pressão uniformemente distribuída aplicada à superfície ( ). -
= largura da sapata ( ). -
= profundidade do ponto onde se calcula a tensão ( ). -
é a função arco-tangente (retorna valor em radianos).
-
Breve justificativa da fórmula (passos de integração, conceitual):
- Imagine a faixa carregada entre
e . Tome uma faixa infinitesimal de largura em . Essa faixa aplica, por unidade de comprimento em , uma força . - A influência (função kernel) de uma faixa infinitesimal sobre a tensão vertical em um ponto a profundidade
abaixo do centro é proporcional a (essa expressão vem da solução elástica 2D para uma carga linear na superfície). - Integrando essa contribuição de
até obtém‑se, após simplificação, exatamente a expressão mostrada acima. (A integração básica usada é .)
Passo 3
Substituição numérica e cálculo passo a passo.
- Primeiro calcule o argumento da arco‑tangente:
- Agora a arco‑tangente (em radianos):
- Multiplicador de influência:
- Finalmente o acréscimo de tensão:
Arredondando de forma prática para dois algarismos significativos após a vírgula:
Passo 4
Verificação rápida de coerência:
- Se
, então e . Assim e , ou seja, na superfície a tensão vertical sob a sapata é igual à pressão aplicada — isso é fisicamente coerente. - O valor encontrado (
) é uma fração de porque o ponto está a uma profundidade relativamente grande ( ) comparada com a largura .