Durante o projeto de fundações de uma estrutura industrial, o engenheiro geotécnico precisa avaliar como as tensões se distribuem no interior do solo devido às cargas transmitidas pela fundação. Para essa análise, considera-se que o solo se comporta como um meio homogêneo, elástico e isotrópico, permitindo a utilização das soluções clássicas da teoria da elasticidade para estimar o aumento de tensões em profundidade. Considere que uma carga concentrada é aplicada na superfície do terreno e que o engenheiro deseja estimar a tensão vertical gerada em um ponto localizado abaixo da superficie, porém afastado do eixo da carga.
Dados para resolução:
  • Carga vertical aplicada: \mathrm{P}=1825 \mathrm{kN};
  • Profundidade do ponto analisado: z=5,75 m;
  • Distância radial em relação ao eixo da carga: r=3,81 \mathrm{~m};
    a) Determine a tensão vertical no ponto considerado, utilizando a solução teórica apropriada para distribuição de tensões em solos devido a uma carga concentrada aplicada na superfície. Apresente o desenvolvimento do cálculo utilizado.
    b) Represente graficamente a posição do ponto analisado em relação à carga aplicada, indicando no esquema:
  • A carga aplicada na superficie;
  • A profundidade analisada;
  • A distância radial considerada;
  • O ponto onde a tensão vertical foi calculada.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede duas coisas claras:
  • Dados:
    • Carga vertical aplicada na superfície: P=1825\\ \mathrm{kN}.
    • Profundidade do ponto analisado: z=5,75\\ \mathrm{m}.
    • Distância radial (afastamento do eixo da carga) do ponto: r=3,81\\ \mathrm{m}.
  • O que o enunciado pede:
    • (a) Determinar a tensão vertical \sigma_z no ponto localizado a profundidade z e a distância radial r da carga concentrada aplicada na superfície, usando a solução teórica apropriada.
    • (b) Representar graficamente (esquematicamente) a posição do ponto analisado em relação à carga, indicando: a carga na superfície, a profundidade analisada z, a distância radial r e o ponto onde foi calculada \sigma_z.

Passo 2

Qual fórmula usar — razão e apresentação da solução:
Quando se tem uma carga puntual (concentrada) aplicada na superfície de um meio elástico semi-infinito (solo idealizado homogêneo, elástico e isotrópico), a solução clássica para a tensão vertical gerada em um ponto interior é a solução de Boussinesq. Vou apresentar a forma mais usada em coordenadas cilíndricas (distância radial r e profundidade z).
A expressão de Boussinesq para a tensão vertical \sigma_z num ponto abaixo de uma carga puntiforme é
\sigma_z = \dfrac{3P}{2\pi}\,\dfrac{z^3}{(r^2+z^2)^{5/2}}.
Explicando cada símbolo:
  • P é a carga concentrada aplicada na superfície (unidade: força, aqui \mathrm{kN}).
  • r é a distância radial do eixo de aplicação da carga até o ponto onde se quer calcular \sigma_z (unidade: \mathrm{m}).
  • z é a profundidade vertical do ponto abaixo da superfície (unidade: \mathrm{m}).
  • \sigma_z fica na mesma unidade de pressão correspondente a P dividido por uma área; se P está em \mathrm{kN} e r,z em \mathrm{m}, então \sigma_z ficará em \mathrm{kN/m^2}, que é \mathrm{kPa}.
Comentário físico curto: a fórmula mostra que a influência da carga decai fortemente com a distância (potência (r^2+z^2)^{5/2} no denominador) e aumenta com z^3 no numerador — resultado da solução elástica para um semi-espaço.

Passo 3

Preparar e calcular os termos necessários (passo a passo aritmético):
Primeiro calculemos os quadrados e o cubo de z:
r^2 = (3,81)^2 = 14,5161,
z^2 = (5,75)^2 = 33,0625,
r^2+z^2 = 14,5161 + 33,0625 = 47,5786.
Agora o cubo de z:
z^3 = (5,75)^3 = 190,109375.
Precisamos de (r^2+z^2)^{5/2}. Faço isso em duas etapas:
(r^2+z^2)^{1/2} = \sqrt{47,5786}\approx 6,897724,
(r^2+z^2)^{3/2} = (r^2+z^2)\cdot\sqrt{r^2+z^2} = 47,5786\cdot 6,897724 \approx 328,184093,
(r^2+z^2)^{5/2} = (r^2+z^2)^{3/2}\cdot (r^2+z^2) = 328,184093\cdot 47,5786 \approx 15614,535722.
Agora calculamos o numerador da fórmula:
3P z^3 = 3\cdot 1825\cdot 190,109375.
Calcule passo a passo:
3\cdot 1825 = 5475,
5475\cdot 190,109375 = 1\,040\,848,828125.
E o denominador (incluindo 2\pi):
2\pi\,(r^2+z^2)^{5/2} \approx 2\pi\cdot 15614,535722 \approx 98\,108,991\\ (\text{unidade: } \mathrm{m^5}).

Passo 4

Inserir na fórmula e obter \sigma_z:
Usando
\sigma_z = \dfrac{3P\,z^3}{2\pi\,(r^2+z^2)^{5/2}},
substituindo os valores numéricos calculados:
\sigma_z \approx \dfrac{1\,040\,848,828125}{98\,108,991} \\ \mathrm{kN/m^2}.
Fazendo a divisão:
\sigma_z \approx 10,605\\ \mathrm{kN/m^2} = 10,605\\ \mathrm{kPa}.
Arredondando com duas casas decimais (próximo ao nível de precisão dos dados):
\sigma_z \approx 10,61\\ \mathrm{kPa}.
Interpretação curta: a tensão vertical induzida por essa carga pontual no ponto a z=5,75\\ \mathrm{m} e r=3,81\\ \mathrm{m} é aproximadamente 10{,}61\\ \mathrm{kPa}. O valor é relativamente pequeno porque o ponto está a uma profundidade considerável e afastado radialmente do eixo da carga.

Passo 5

Representação gráfica esquemática (desenho simples em ASCII e instruções para desenhar à mão):
Esquema ASCII (vista lateral, corte vertical):
\n
superfície
|
| P (carga concentrada)
o ← eixo/posição da carga (x=0)
|
|
|
| \ r = 3,81 m ← distância radial no plano horizontal (aqui indicada obliquamente para facilitar a visualização)
|
|
| \ ← direção radial do ponto
|
| • ← ponto analisado (marcado como “Ponto”)
| |
| | \ z = 5,75 m (profundidade vertical do ponto abaixo da superfície)
| |
| |
| | (solo, semi-espaço)
|
(profundidade aumentada para baixo)
\n
Instruções para desenhar um esquema claro à mão (passo a passo):
  • Trace uma linha horizontal para representar a superfície do solo.
  • Marque na superfície a carga pontual P=1825\\ \mathrm{kN} em x=0 (um pequeno símbolo de carga ou um círculo com a letra P).
  • Do ponto de aplicação da carga, desenhe o eixo vertical para baixo e marque a profundidade z=5,75\\ \mathrm{m}.
  • A partir do eixo (projeção vertical da carga), desenhe uma linha horizontal (no plano superficial) de comprimento r=3,81\\ \mathrm{m} e localize a projeção horizontal do ponto. Em vista lateral, isso pode ser representado obliquamente como no ASCII.
  • O ponto analisado fica à profundidade z e deslocado radialmente r do eixo; marque-o com um ponto (•) e rotule-o “Ponto (onde \sigma_z foi calculada)”.
  • Adicione as legendas: P=1825\\ \mathrm{kN} na superfície; r=3,81\\ \mathrm{m} (distância radial); z=5,75\\ \mathrm{m} (profundidade).
Dica de leitura: em planta (vista de cima) o ponto estaria a uma distância r do eixo da carga; em corte vertical (vista lateral) mostra-se a profundidade z. Juntando as duas vistas tem-se a localização tridimensional do ponto.

Resposta

\sigma_z \approx 10{,}61\\ \mathrm{kPa}
Esquema: carga P=1825\\ \mathrm{kN} na superfície (eixo x=0); ponto analisado localizado a r=3,81\\ \mathrm{m} radialmente do eixo e a z=5,75\\ \mathrm{m} de profundidade (representado no esquema ASCII acima).

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