Uma barra prismática está submetida a uma tensão axial é \sigma_{x}=1200 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2}.
O material rompe quando a tensão de cisalhamento atinge o valor de \tau_{\max }=400 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2}. Determine o plano onde ocorre a ruptura ( \theta ) e a tensão normal neste plano ( \sigma_{0} ).
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas:
Dados fornecidos:
A tensão axial na direção x é \sigma_{x}=1200\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}.
O material rompe quando a tensão de cisalhamento em um plano atinge \tau_{\max}=400\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}.
O que o enunciado pede:
Determinar o(s) plano(s) onde ocorre a ruptura, isto é o ângulo \theta do plano em relação ao eixo x.
Determinar a tensão normal \sigma_{0} nesse(s) plano(s).
Passo 2
Vamos entender a transformação de tensões em um plano que forma um ângulo \theta com o eixo x. Aqui vou usar a convenção comum: \theta é o ângulo entre a normal do plano considerado e o eixo x.
As fórmulas de transformação para estado plano de tensões (com tensões normais \sigma_x,\sigma_y e cisalhamento \tau_{xy} no sistema original) dão a tensão normal \sigma_n e a tensão de cisalhamento \tau_n num plano que tem normal fazendo ângulo \theta com o eixo x:
\sigma_{x} e \sigma_{y} são as tensões normais nos eixos x e y.
\tau_{xy} é a tensão de cisalhamento no par de faces xy.
\sigma_{n} é a tensão normal na face cujo normal faz \theta com o eixo x.
\tau_{n} é a tensão de cisalhamento nessa face.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso: a barra tem apenas tensão axial em x, logo \sigma_{y}=0 e \tau_{xy}=0. Substituindo essas condições, as fórmulas simplificam bastante:
Esses dois ângulos correspondem aos dois planos (perpendiculares entre si) onde o valor absoluto do cisalhamento atinge \tau_{\max}.
Passo 6
Agora calculamos a tensão normal \sigma_{0} em cada um desses planos. Usamos \sigma_{n}=\dfrac{\sigma_{x}}{2}\bigl(1+\cos(2\theta)\bigr) (ou \sigma_{x}\cos^{2}\theta).
Primeiro precisamos de \cos(2\theta). Como \sin(2\theta)=\pm\dfrac{2}{3}, tem-se
Interpretação final: existem dois planos (normais formando \theta_{1} e \theta_{2} com o eixo x) onde o cisalhamento atinge o valor crítico \tau_{\max}=400\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}. Nessas duas faces o cisalhamento tem mesmo valor absoluto, mas a tensão normal é diferente em cada uma. Em termos práticos, a ruptura por cisalhamento pode iniciar em qualquer um desses planos (são planos complementares); frequentemente o plano efetivamente fraturado dependerá também de outros fatores, mas matematicamente essas são as soluções.