Uma barra prismática está submetida a uma tensão axial é \sigma_{x}=1200 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2}.
O material rompe quando a tensão de cisalhamento atinge o valor de \tau_{\max }=400 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2}. Determine o plano onde ocorre a ruptura ( \theta ) e a tensão normal neste plano ( \sigma_{0} ).

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas:
  • Dados fornecidos:
    • A tensão axial na direção x é \sigma_{x}=1200\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}.
    • O material rompe quando a tensão de cisalhamento em um plano atinge \tau_{\max}=400\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar o(s) plano(s) onde ocorre a ruptura, isto é o ângulo \theta do plano em relação ao eixo x.
    • Determinar a tensão normal \sigma_{0} nesse(s) plano(s).

Passo 2

Vamos entender a transformação de tensões em um plano que forma um ângulo \theta com o eixo x. Aqui vou usar a convenção comum: \theta é o ângulo entre a normal do plano considerado e o eixo x.
As fórmulas de transformação para estado plano de tensões (com tensões normais \sigma_x,\sigma_y e cisalhamento \tau_{xy} no sistema original) dão a tensão normal \sigma_n e a tensão de cisalhamento \tau_n num plano que tem normal fazendo ângulo \theta com o eixo x:
\sigma_{n}=\frac{\sigma_{x}+\sigma_{y}}{2}+\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}\cos(2\theta)+\tau_{xy}\sin(2\theta),
\tau_{n}=-\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}\sin(2\theta)+\tau_{xy}\cos(2\theta).
Explicando as variáveis:
  • \sigma_{x} e \sigma_{y} são as tensões normais nos eixos x e y.
  • \tau_{xy} é a tensão de cisalhamento no par de faces xy.
  • \sigma_{n} é a tensão normal na face cujo normal faz \theta com o eixo x.
  • \tau_{n} é a tensão de cisalhamento nessa face.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: a barra tem apenas tensão axial em x, logo \sigma_{y}=0 e \tau_{xy}=0. Substituindo essas condições, as fórmulas simplificam bastante:
\sigma_{n}=\frac{\sigma_{x}}{2}+\frac{\sigma_{x}}{2}\cos(2\theta)=\frac{\sigma_{x}}{2}\bigl(1+\cos(2\theta)\bigr),
\tau_{n}=-\frac{\sigma_{x}}{2}\sin(2\theta).
(Aqui o sinal negativo em \tau_n depende da convenção; o importante para falha por cisalhamento é o valor absoluto |\tau_{n}|.)
Outra forma útil, equivalente, é
\sigma_{n}=\sigma_{x}\cos^{2}\theta, \qquad \tau_{n}=\sigma_{x}\sin\theta\cos\theta=\frac{\sigma_{x}}{2}\sin(2\theta).
Vou usar a segunda forma porque é mais direta para este problema.

Passo 4

A ruptura ocorre quando |\tau_{n}|=\tau_{\max}. Usando \tau_{n}=\dfrac{\sigma_{x}}{2}\sin(2\theta) e substituindo os valores numéricos:
\left|\frac{\sigma_{x}}{2}\sin(2\theta)\right|=\tau_{\max}.
Substituindo \sigma_{x}=1200 e \tau_{\max}=400:
\left|\frac{1200}{2}\sin(2\theta)\right|=400 \quad\Rightarrow\quad \left|600\sin(2\theta)\right|=400.
Dividindo por 600:
|\sin(2\theta)|=\frac{400}{600}=\frac{2}{3}.

Passo 5

Resolvendo para 2\theta:
\sin(2\theta)=\pm\frac{2}{3}.
As soluções básicas em graus são
2\theta_{1}=\arcsin\!\left(\frac{2}{3}\right)\approx 41,810^\circ, \qquad 2\theta_{2}=180^\circ-\arcsin\!\left(\frac{2}{3}\right)\approx 138,190^\circ.
Dividindo por 2 obtemos os ângulos \theta:
\theta_{1}\approx 20,905^\circ \quad\text{e}\quad \theta_{2}\approx 69,095^\circ.
Esses dois ângulos correspondem aos dois planos (perpendiculares entre si) onde o valor absoluto do cisalhamento atinge \tau_{\max}.

Passo 6

Agora calculamos a tensão normal \sigma_{0} em cada um desses planos. Usamos \sigma_{n}=\dfrac{\sigma_{x}}{2}\bigl(1+\cos(2\theta)\bigr) (ou \sigma_{x}\cos^{2}\theta).
Primeiro precisamos de \cos(2\theta). Como \sin(2\theta)=\pm\dfrac{2}{3}, tem-se
\cos(2\theta)=\pm\sqrt{1-\sin^{2}(2\theta)}=\pm\sqrt{1-\left(\frac{2}{3}\right)^{2}}=\pm\sqrt{\frac{5}{9}}=\pm\frac{\sqrt{5}}{3}.
Para 2\theta_{1}=41,810^\circ temos \cos(2\theta_{1})=+\dfrac{\sqrt{5}}{3}\approx 0,745356.
Então
\sigma_{0,1}=\frac{1200}{2}\left(1+\frac{\sqrt{5}}{3}\right)=600\left(1+0,745356\right)\approx 1047,21\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}.
Para 2\theta_{2}=138,190^\circ temos \cos(2\theta_{2})=-\dfrac{\sqrt{5}}{3}\approx -0,745356.
Então
\sigma_{0,2}=\frac{1200}{2}\left(1-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)=600\left(1-0,745356\right)\approx 152,79\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}.

Passo 7

Interpretação final: existem dois planos (normais formando \theta_{1} e \theta_{2} com o eixo x) onde o cisalhamento atinge o valor crítico \tau_{\max}=400\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}. Nessas duas faces o cisalhamento tem mesmo valor absoluto, mas a tensão normal é diferente em cada uma. Em termos práticos, a ruptura por cisalhamento pode iniciar em qualquer um desses planos (são planos complementares); frequentemente o plano efetivamente fraturado dependerá também de outros fatores, mas matematicamente essas são as soluções.

Resposta

\theta=20,905^\circ,\\ \sigma_{0}=1047,21\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}
\theta=69,095^\circ,\\ \sigma_{0}=152,79\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}

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