Uma barra prismática está submetida a uma tensão axial é
.
Determine
ângulo
do plano onde a tensão normal é igual à metade da tensão axial e a tensão de cisalhamento atuante neste plano.
Determine
Passo 1
O enunciado dá que a barra está submetida a uma tensão axial
.
Pede-se:
Pede-se:
- determinar o(s) ângulo(s)
do plano tal que a tensão normal nesse plano seja igual à metade da tensão axial (isto é, ); - determinar a tensão de cisalhamento atuante nesse mesmo plano.
Informações adicionais usadas (assumidas como naturais para este problema de transformação de tensões):
- não há tensão no sentido
: ; - não há cisalhamento na orientação original:
.
Passo 2
Apresentar a fórmula de transformação de tensões em um plano que faz ângulo
com o eixo
. Para um elemento plano, a tensão normal
e a tensão de cisalhamento
são, em termos de
:
Explicando as variáveis:
-
é a tensão normal no plano perpendicular ao eixo (dada pelo enunciado); -
é a tensão normal no plano perpendicular ao eixo (aqui assumida zero); -
é a tensão de cisalhamento no elemento original (assumida zero); -
é o ângulo que define a orientação do plano para o qual queremos as tensões (convencionalmente o ângulo entre a normal ao plano e o eixo quando se usa estas fórmulas).
Essas fórmulas vêm da decomposição trigonométrica das componentes de tensão ao girar o plano; não entraremos na derivação geométrica longa, mas elas são padrão e úteis para provas.
Passo 3
Simplificar as fórmulas com
e
. Substituindo obtemos:
Usando a identidade trigonométrica
, podemos escrever de forma mais simples:
Isto é intuitivo: a componente normal de uma tensão uniaxial ao longo de um plano inclinado depende de
.
Passo 4
Impor a condição pedida: a tensão normal nesse plano é metade da tensão axial,
Usando
temos
Dividindo por
(não nula):
Logo
Isso dá os ângulos (no intervalo
a
):
pois
e
, e ambos satisfazem
. (Ângulos adicionais diferem por
e representam o mesmo plano em sentido oposto.)
Passo 5
Calcular a tensão de cisalhamento nesse(s) plano(s). Usamos
Para
:
Para
:
O sinal negativo indica apenas que a direção do cisalhamento é oposta (orientação da força tangencial invertida); a magnitude é
.
Passo 6
Interpretação prática para a prova (dica amiga):
- O plano que recebe metade da tensão normal corta igualmente a contribuição normal do eixo
: isso acontece em (e no plano oposto ). - Nesse plano a cisalhamento é máximo em magnitude e vale metade da tensão axial quando o estado original é uniaxial sem cisalhamento.
- Na hora da prova, se houver só
e , tente de cabeça a relação para achar rapidamente .