Uma barra prismática está submetida a uma tensão axial é \sigma_{x}=1000 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2}.
Determine o ângulo \theta do plano onde a tensão normal é igual à metade da tensão axial e a tensão de cisalhamento atuante neste plano.

Passo 1

O enunciado dá que a barra está submetida a uma tensão axial
\sigma_{x}=1000\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}.
Pede-se:
  • determinar o(s) ângulo(s) \theta do plano tal que a tensão normal nesse plano seja igual à metade da tensão axial (isto é, \sigma_n=\tfrac{1}{2}\sigma_x);
  • determinar a tensão de cisalhamento atuante nesse mesmo plano.
Informações adicionais usadas (assumidas como naturais para este problema de transformação de tensões):
  • não há tensão no sentido y: \sigma_{y}=0;
  • não há cisalhamento na orientação original: \tau_{xy}=0.

Passo 2

Apresentar a fórmula de transformação de tensões em um plano que faz ângulo \theta com o eixo x. Para um elemento plano, a tensão normal \sigma_n e a tensão de cisalhamento \tau_n são, em termos de \sigma_x,\sigma_y,\tau_{xy}:
\sigma_n=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}+\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos2\theta+\tau_{xy}\sin2\theta,
\tau_n=\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin2\theta-\tau_{xy}\cos2\theta.
Explicando as variáveis:
  • \sigma_x é a tensão normal no plano perpendicular ao eixo x (dada pelo enunciado);
  • \sigma_y é a tensão normal no plano perpendicular ao eixo y (aqui assumida zero);
  • \tau_{xy} é a tensão de cisalhamento no elemento original (assumida zero);
  • \theta é o ângulo que define a orientação do plano para o qual queremos as tensões (convencionalmente o ângulo entre a normal ao plano e o eixo x quando se usa estas fórmulas).
    Essas fórmulas vêm da decomposição trigonométrica das componentes de tensão ao girar o plano; não entraremos na derivação geométrica longa, mas elas são padrão e úteis para provas.

Passo 3

Simplificar as fórmulas com \sigma_y=0 e \tau_{xy}=0. Substituindo obtemos:
\sigma_n=\frac{\sigma_x}{2}+\frac{\sigma_x}{2}\cos2\theta=\sigma_x\frac{1+\cos2\theta}{2},
\tau_n=\frac{\sigma_x}{2}\sin2\theta.
Usando a identidade trigonométrica \dfrac{1+\cos2\theta}{2}=\cos^2\theta, podemos escrever de forma mais simples:
\sigma_n=\sigma_x\cos^2\theta.
Isto é intuitivo: a componente normal de uma tensão uniaxial ao longo de um plano inclinado depende de \cos^2\theta.

Passo 4

Impor a condição pedida: a tensão normal nesse plano é metade da tensão axial,
\sigma_n=\frac{1}{2}\sigma_x.
Usando \sigma_n=\sigma_x\cos^2\theta temos
\sigma_x\cos^2\theta=\frac{1}{2}\sigma_x.
Dividindo por \sigma_x (não nula):
\cos^2\theta=\frac{1}{2}.
Logo
\cos\theta=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}.
Isso dá os ângulos (no intervalo 0^\circ a 180^\circ):
\theta=45^\circ\quad\text{ou}\quad\theta=135^\circ,
pois \cos45^\circ=1/\sqrt{2} e \cos135^\circ=-1/\sqrt{2}, e ambos satisfazem \cos^2\theta=1/2. (Ângulos adicionais diferem por 180^\circ e representam o mesmo plano em sentido oposto.)

Passo 5

Calcular a tensão de cisalhamento nesse(s) plano(s). Usamos
\tau_n=\frac{\sigma_x}{2}\sin2\theta.
Para \theta=45^\circ:
\sin2\theta=\sin90^\circ=1 \quad\Rightarrow\quad \tau_n=\frac{\sigma_x}{2}=\frac{1000}{2}=500\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}.
Para \theta=135^\circ:
\sin2\theta=\sin270^\circ=-1 \quad\Rightarrow\quad \tau_n=\frac{\sigma_x}{2}(-1)=-500\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}.
O sinal negativo indica apenas que a direção do cisalhamento é oposta (orientação da força tangencial invertida); a magnitude é 500\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}.

Passo 6

Interpretação prática para a prova (dica amiga):
  • O plano que recebe metade da tensão normal corta igualmente a contribuição normal do eixo x: isso acontece em \theta=45^\circ (e no plano oposto \theta=135^\circ).
  • Nesse plano a cisalhamento é máximo em magnitude e vale metade da tensão axial quando o estado original é uniaxial sem cisalhamento.
  • Na hora da prova, se houver só \sigma_x e \sigma_y=\tau_{xy}=0, tente de cabeça a relação \sigma_n=\sigma_x\cos^2\theta para achar rapidamente \theta.

Resposta

\theta=45^\circ ou \theta=135^\circ\n
\tau_n=500\\ \mathrm{kgf/cm^{2}} (magnitude; \tau_n(45^\circ)=+500\\ \mathrm{kgf/cm^{2}},\\ \tau_n(135^\circ)=-500\\ \mathrm{kgf/cm^{2}})

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