Em um plano inclinado a \theta=22^{\circ}, \sigma_{\theta}{ }^{\prime}=250 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2}. Encontre os valores de \sigma_{x}, \sigma_{\theta}, \tau_{\theta} e \tau_{\theta}{ }^{\prime}

Passo 1

O enunciado dá que a face inclinada forma \theta=22^\circ com o eixo x e que a tensão normal na face inclinada é \sigma_{\theta}'=250\\ \text{kgf/cm}^2. Pede-se encontrar \sigma_x,\\ \sigma_{\theta},\\ \tau_{\theta} e \tau_{\theta}'.
Informações fornecidas (retiradas do enunciado):
  • \theta = 22^\circ.
  • \sigma_{\theta}' = 250\\ \text{kgf/cm}^2.
O que será encontrado:
  • \sigma_x: a tensão normal no plano x (ou tensão principal aplicada horizontalmente).
  • \sigma_{\theta}: a tensão normal na face perpendicular à face inclinada (isto é, na face com direção \theta+90^\circ), ou seja a normal complementar.
  • \tau_{\theta}: a tensão de cisalhamento na face inclinada (magnitude e sinal conforme convenção).
  • \tau_{\theta}': a tensão de cisalhamento na face perpendicular (que tem mesma magnitude e sinal oposto).
Observação necessária (assunção usada para poder resolver): é assumido que o estado de tensão original é uniaxial, com somente \sigma_x\neq0 e \sigma_y=0,\\ \tau_{xy}=0. Esta é a hipótese típica quando se dá só uma tensão numa face e se pede as componentes numa face inclinada.

Passo 2

Apresentar as fórmulas de transformação de tensão para um plano inclinado de ângulo \theta quando as componentes no sistema original são \sigma_x,\\ \sigma_y,\\ \tau_{xy}.
Fórmulas gerais (para o plano cujo normal faz ângulo \theta com o eixo x):
\sigma_n = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos 2\theta + \tau_{xy}\sin 2\theta,
\tau_n = -\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin 2\theta + \tau_{xy}\cos 2\theta.
Nessas fórmulas:
  • \sigma_n é a tensão normal na face inclinada (aqui identificada com \sigma_{\theta}' do enunciado),
  • \tau_n é a tensão de cisalhamento na mesma face (aqui \tau_{\theta}),
  • \theta é o ângulo entre a normal da face e o eixo x.

Passo 3

Simplificar as fórmulas para o caso uniaxial assumido: \sigma_y=0 e \tau_{xy}=0.
Substituindo \sigma_y=0 e \tau_{xy}=0 nas fórmulas gerais obtemos:
\sigma_n = \frac{\sigma_x}{2} + \frac{\sigma_x}{2}\cos 2\theta = \sigma_x\cos^2\theta,
\tau_n = -\frac{\sigma_x}{2}\sin 2\theta = -\sigma_x\sin\theta\cos\theta.
Observação sobre sinais: o sinal negativo no \tau_n vem da convenção da fórmula. Em termos de magnitude, a componente de cisalhamento tem valor |\tau_n|=\sigma_x\sin\theta\cos\theta. A face perpendicular (a de ângulo \theta+90^\circ) terá a mesma magnitude de cisalhamento e sinal oposto: \tau_{\theta}'=-\tau_{\theta}.

Passo 4

Usar a informação do enunciado \sigma_{\theta}'=250\\ \text{kgf/cm}^2 e a fórmula simplificada para obter \sigma_x.
Temos
\sigma_{\theta}'=\sigma_x\cos^2\theta.
Logo
\sigma_x=\frac{\sigma_{\theta}'}{\cos^2\theta}.
Substituindo \sigma_{\theta}'=250\\ \text{kgf/cm}^2 e \theta=22^\circ:
\cos 22^\circ \approx 0{,}9271838546, \qquad \cos^2 22^\circ \approx 0{,}85966.
Portanto
\sigma_x=\frac{250}{0{,}85966}\approx 290{,}8\\ \text{kgf/cm}^2.

Passo 5

Determinar \sigma_{\theta}, a tensão normal na face perpendicular (ângulo \theta+90^\circ). Para o caso uniaxial com \sigma_y=0,\tau_{xy}=0 vale
\sigma_{\theta}=\sigma_x\sin^2\theta.
Usando \sin 22^\circ \approx 0{,}3746065934 e \sin^2 22^\circ \approx 0{,}14034:
\sigma_{\theta} = 290{,}8 \times 0{,}14034 \approx 40{,}8\\ \text{kgf/cm}^2.
Nota rápida de verificação: \sigma_x = \sigma_{\theta}'+\sigma_{\theta}, pois \cos^2\theta+\sin^2\theta=1. Aqui 290{,}8 \approx 250 + 40{,}8, consistente.

Passo 6

Determinar a tensão de cisalhamento na face inclinada \tau_{\theta} (usando a magnitude e o sinal conforme a fórmula). Usando
\tau_{\theta} = -\sigma_x\sin\theta\cos\theta = -\frac{\sigma_x}{2}\sin 2\theta.
Compute \sin 2\theta = \sin 44^\circ \approx 0{,}69466. Então
\tau_{\theta} = -\frac{290{,}8}{2}\times 0{,}69466 \approx -100{,}9\\ \text{kgf/cm}^2.
Interpretação do sinal: a fórmula dá \tau_{\theta} negativo com a convenção adotada. Se a questão pedir apenas a magnitude do cisalhamento, o valor absoluto é 100{,}9\\ \text{kgf/cm}^2. A face perpendicular terá cisalhamento igual em módulo e de sinal oposto:
\tau_{\theta}' = -\tau_{\theta} \approx +100{,}9\\ \text{kgf/cm}^2.

Resposta

\sigma_x = 290{,}8\\ \text{kgf/cm}^2
\sigma_{\theta} = 40{,}8\\ \text{kgf/cm}^2
\tau_{\theta} = -100{,}9\\ \text{kgf/cm}^2
\tau_{\theta}' = 100{,}9\\ \text{kgf/cm}^2

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